中册 6.3 函数项级数 第4题
📝 题目
4．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $[0,1]$ 内收敛，但在 $[0,1]$ 上不一致收敛．
（2）讨论函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上的一致收玫性。
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}(1-x)}{\ln (n+1)}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}(x)=x \mathrm{e}^{-x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}$ ．
当 $x \in[0,+\infty)$ 时有 $S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=x \mathrm{e}^{-x}$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $[0,1]$ 内收玫，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 的余和 $\left|R_{n}(x)\right|=(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}$ ．
因 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|R_{n}(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \max _{x \in[0,1]}(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}=\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{-1}=\mathrm{e}^{-1}$ ．所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛．
（2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}(x)=x n^{2} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}$ ．于是级数的和 $S(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=0$ ，余和 $\left|R_{n}(x)\right|=\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=x n^{2} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}$.
因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,1)}\left|S_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{2 \mathrm{e}}}=\infty$ ，所以函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) \mathrm{x}}\right]$ 在（ 0,1 ）上不
一致收敛。
因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(1,+\infty)}\left|S_{n}(x)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n^{2}}}=0$ ，所以函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
（3）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{x^{n}(1-x)}{\ln (n+1)}$ ，则 $u_{n}(x) \geqslant 0$ ，且在 $[0,1]$ 连续．
当 $x=0,1$ 时，$u_{n}(x)=0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}(1-x)}{\ln (n+1)}$ 收玫．
当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求部分和与和函数
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[n x e^{-n x}-(n+1) x e^{-(n+1) x}\right]$，其前 $n$ 项部分和为 $S_n(x) = x e^{-x} - (n+1) x e^{-(n+1) x}$。当 $x \in [0, +\infty)$ 时，$\lim_{n \to \infty} S_n(x) = x e^{-x}$，故和函数 $S(x) = x e^{-x}$。
公式：S_n(x) = x e^{-x} - (n+1) x e^{-(n+1) x}
提示：注意部分和是 telescoping series 形式，正确求和得到简洁表达式。
步骤 2/5
目标：计算余项并判断一致收敛性
余项 $R_n(x) = S(x) - S_n(x) = (n+1) x e^{-(n+1) x}$。在 $[0,1]$ 上，求 $\sup_{x \in [0,1]} |R_n(x)|$。令 $f(x) = (n+1) x e^{-(n+1) x}$，求导得 $f'(x) = (n+1) e^{-(n+1) x} [1 - (n+1)x]$，在 $x = \frac{1}{n+1}$ 处取得最大值 $f(\frac{1}{n+1}) = e^{-1}$。因此 $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,1]} |R_n(x)| = e^{-1} \neq 0$，故级数在 $[0,1]$ 上不一致收敛。
公式：R_n(x) = (n+1) x e^{-(n+1) x}, \quad \sup_{x \in [0,1]} |R_n(x)| = e^{-1}
提示：求最大值时注意导数为零的点是否在区间内，且边界点值为0。
步骤 3/5
目标：讨论在 (0,1) 上的一致收敛性
对于区间 $(0,1)$，考虑 $S_n(x) = x e^{-x} - (n+1) x e^{-(n+1) x}$，但这里题目中（2）的级数形式有误？实际上（2）与（1）是同一级数，但答案中使用了不同的部分和形式。根据标准答案，级数在 $(0,1)$ 上不一致收敛。计算 $\sup_{x \in (0,1)} |S_n(x) - S(x)| = \sup_{x \in (0,1)} (n+1) x e^{-(n+1) x}$，当 $x = \frac{1}{n+1}$ 时，值为 $e^{-1}$，不趋于0，故不一致收敛。
公式：\sup_{x \in (0,1)} |R_n(x)| = e^{-1}
提示：注意开区间与闭区间在求上确界时可能相同，但端点不影响。
步骤 4/5
目标：讨论在 (1,+∞) 上的一致收敛性
在区间 $(1, +\infty)$ 上，余项 $R_n(x) = (n+1) x e^{-(n+1) x}$。由于 $x \geq 1$，函数 $g(x) = x e^{-(n+1)x}$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递减（因为导数 $g'(x) = e^{-(n+1)x}[1 - (n+1)x] < 0$ 当 $x > 1/(n+1)$），故最大值在 $x=1$ 处取得：$\sup_{x \in (1,+\infty)} |R_n(x)| = (n+1) e^{-(n+1)}$。当 $n \to \infty$ 时，$(n+1) e^{-(n+1)} \to 0$，因此级数在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：\sup_{x \in (1,+\infty)} |R_n(x)| = (n+1) e^{-(n+1)} \to 0
提示：注意单调性判断，确保上确界在左端点取得。
步骤 5/5
目标：证明级数在 [0,1] 上一致收敛（第三问）
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n (1-x)}{\ln(n+1)}$。记 $u_n(x) = \frac{x^n (1-x)}{\ln(n+1)}$，则 $u_n(x) \geq 0$ 且在 $[0,1]$ 上连续。当 $x=0$ 或 $x=1$ 时，$u_n(x)=0$，级数收敛。当 $0
公式：R_n(x) \leq \frac{x^{n+1}}{\ln(n+2)} \leq \frac{1}{\ln(n+2)}
提示：注意放缩时保持不等式方向，并利用几何级数求和。
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