中册 6.3 函数项级数 第5题
📝 题目
5．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 都绝对收敛，在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但在 $(-\infty,+\infty)$ 上非绝对一致收敛。
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上非一致收敛．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的收敛性和一致收敛性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 收敛于 0 ；
当 $x \neq 0$ 时，部分和 $\displaystyle S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{k}}=1-\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=1$ ，
所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 绝对收敛且和函数 $S(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$
又 由于 $\displaystyle \sup _{x \in(-\infty,+\infty)}\left|R_{n}(x)\right|=\sup _{x \in(-\infty,+\infty)}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=\sup _{x \in(-\infty,+\infty)} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}=1$ ，所以 函 数 项 级 数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛。
下证函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
方法 1：记 $\displaystyle a_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, b_{n}(x)=(-1)^{n}$ ，则由 $\displaystyle a_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \leqslant \frac{x^{2}}{1+n x^{2}}=\frac{1}{n}$ 知，$\left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于零。对固定的 $x \in(-\infty,+\infty),\left\{a_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 是单调的，$\left|\sum_{k=1}^{n} b_{k}(x)\right| \leqslant 1$ ，由 Dirichlet 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
方 法 2：记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), u_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \geqslant \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}=u_{n+1}(x)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=0$ ．由莱布尼兹判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛，且 $\displaystyle \left|R_{n}(x)\right| \leqslant \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}} \leqslant \frac{1}{. n+1}$ ．从而 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(-\infty,+\infty)}\left|R_{n}(x)\right|=0$ ．所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫。
（2）由（1）知函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。
由（1）知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 的和函数为 $S(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 和函数在 $[-1,1]$ 上不连续，而级数的每一项 $\displaystyle \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上连续，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上不一致收敛．
（3）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), u_{n}(x)=\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \geqslant \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}=u_{n+1}(x)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=0$ ，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收玫。
又由于 $\displaystyle \sup _{x \in \mathbf{R}}\left|\frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}\right| \geqslant \frac{1}{(1+0)^{n}}=1$ ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析级数绝对收敛性
当 $x=0$ 时，级数每一项为0，显然绝对收敛。当 $x \neq 0$ 时，考虑正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$。计算部分和：$S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{k}} = 1 - \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$，当 $n \to \infty$ 时，$S_n(x) \to 1$，故级数收敛，从而原级数绝对收敛。
公式：$S_n(x) = 1 - \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$
提示：注意 $x=0$ 时需单独处理，此时级数每一项为0。
步骤 2/7
目标：证明原级数一致收敛（方法一：Dirichlet判别法）
记 $a_n(x) = \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$，$b_n = (-1)^n$。由于 $a_n(x) \leq \frac{x^{2}}{1+n x^{2}} \leq \frac{1}{n}$（利用不等式 $(1+x^2)^n \geq 1+nx^2$），故 $a_n(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致趋于0。对固定 $x$，$a_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减，且 $\left|\sum_{k=1}^{n} b_k\right| \leq 1$，由Dirichlet判别法，级数一致收敛。
公式：$a_n(x) \leq \frac{1}{n}$
提示：注意验证单调性和部分和有界性。
步骤 3/7
目标：证明原级数一致收敛（方法二：Leibniz判别法）
对任意 $x$，$u_n(x) = \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$ 关于 $n$ 单调递减且趋于0，由Leibniz判别法，级数收敛，且余项估计 $|R_n(x)| \leq u_{n+1}(x) = \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n+1}}$。求上确界：令 $t = x^2 \geq 0$，则 $f(t) = \frac{t}{(1+t)^{n+1}}$，求导得最大值在 $t=1/n$ 处，但更简单的放缩：$\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n+1}} \leq \frac{1}{n+1}$（利用 $\frac{t}{(1+t)^{n+1}} \leq \frac{1}{n+1}$，可通过AM-GM或求导证明）。故 $\sup_x |R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1} \to 0$，一致收敛。
公式：$|R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1}$
提示：余项上界估计是关键，注意放缩技巧。
步骤 4/7
目标：证明绝对级数非一致收敛
绝对级数 $\sum \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$ 的和函数 $S(x) = \begin{cases} 1, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。余项 $R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$（当 $x \neq 0$），$R_n(0)=0$。计算上确界：$\sup_{x \in (-\infty,+\infty)} |R_n(x)| = \sup_{x \neq 0} \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} = 1$（取 $x=0$ 时极限为1，但 $x=0$ 时余项为0，故上确界为1），不趋于0，故非一致收敛。
公式：$\sup_x |R_n(x)| = 1$
提示：注意和函数在 $x=0$ 处不连续，导致余项上确界不为0。
步骤 5/7
目标：证明原级数在[-1,1]上一致收敛
由（1）已证原级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，故在子区间 $[-1,1]$ 上自然一致收敛。
提示：一致收敛性在子区间上保持。
步骤 6/7
目标：证明绝对级数在[-1,1]上非一致收敛
绝对级数的和函数 $S(x)$ 在 $[-1,1]$ 上不连续（$x=0$ 处间断），但每一项 $\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$ 在 $[-1,1]$ 上连续。若级数一致收敛，则和函数必连续，矛盾。故非一致收敛。
提示：利用连续函数项级数一致收敛则和函数连续的性质。
步骤 7/7
目标：讨论新级数的收敛性和一致收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(1+x^{2})^{n}}$。对任意 $x$，$u_n(x) = \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$ 关于 $n$ 单调递减且趋于0，由Leibniz判别法，级数收敛。但通项 $\left|\frac{(-1)^{n}}{(1+x^{2})^{n}}\right|$ 在 $x=0$ 时为1，故 $\sup_x |u_n(x)| = 1$ 不趋于0，因此级数非一致收敛（因为一致收敛的必要条件是通项一致趋于0）。
公式：$\sup_x \left|\frac{(-1)^{n}}{(1+x^{2})^{n}}\right| = 1$
提示：一致收敛的必要条件：通项一致趋于0。
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