中册 6.3 函数项级数 第6题
📝 题目
6．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的敛散性．
（1）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上的和函数 $S(x)$ ，并讨论级数在 $[0,+\infty)$ 上的一致收敛性，其中 $\alpha>0$ ．
（2）证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上可逐项求导．
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛 $(\alpha>0)$ ．
（4）证明当 $\alpha>2$ 时函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x=0$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛于 0 ；
当 $x \neq 0$ 时，部分和 $\displaystyle S_{n}(x)=x^{\alpha} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}\left(1-\mathrm{e}^{-n x}\right), \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)=x^{\alpha} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ ，
故函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 收敛于 $\displaystyle S(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{\alpha} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$
当 $0<\alpha<1$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} S(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}=+\infty$ ．故函数项级数的和函数在 $x=0$ 不连续．而函数项级数的每一项 $x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，所以当 $0<\alpha<1$ 时函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛。
当 $\alpha=1$ 时，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 收敛．余和
$$
\left|R_{n}(x)\right|=\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=S_{n}(x)=x \mathrm{e}^{-n x} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}}
$$
故 $\displaystyle \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|R_{n}(x)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)} x \mathrm{e}^{-n x} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{1-\mathrm{e}^{-x}} \stackrel{x=\frac{1}{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty}} \mathrm{e}^{-1} \frac{1}{n} \frac{1}{\mathrm{e}^{1 / n}-1}=\mathrm{e}^{-1}$ ．
所以函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收玫。
当 $\alpha>1$ 时，记 $u_{n}(x)=x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ ，则 $u_{n}^{\prime}(x)=x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-n x}(\alpha-n x)$ 。故 $u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x_{n}=\frac{\alpha}{n}$ 处达到最大值。因而
$$
0 \leqslant u_{n}(x) \leqslant u_{n}\left(x_{n}\right)=\left(\frac{\alpha}{n}\right)^{\alpha} \mathrm{e}^{-\alpha}=\alpha^{\alpha} \mathrm{e}^{-\alpha} \frac{1}{n^{\alpha}}
$$
又 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 在 $\alpha>1$ 时收敛，故当 $\alpha>1$ 时函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫。
（2）设 $u_{n}(x)=n x \mathrm{e}^{-n x}$ ，因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=\mathrm{e}^{-x}<1$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛。
因为 $\displaystyle \sup _{0\delta>0$ 使得 $0<\delta0$ 时收敛，所以当 $\alpha>0$ 时函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛．
（4）记 $u_{n}(x)=x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ ，则 $u_{n}^{\prime}(x)=x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-n x^{2}}\left(\alpha-2 n x^{2}\right)$ 。易知，$u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x_{n}=\left(\frac{\alpha}{2 n}\right)^{\frac{1}{2}}$ 处达到最大值．因而
$$
0 \leqslant u_{n}(x) \leqslant u_{n}\left(x_{n}\right)=\left(\frac{\alpha}{2 n}\right)^{\frac{\alpha}{2}} \mathrm{e}^{-\frac{\alpha}{2}}=\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{\frac{\alpha}{2}} \mathrm{e}^{\frac{\alpha}{2}} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}} .
$$
又 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}$ 在 $\alpha>2$ 时收敛，故当 $\alpha>2$ 时 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求级数的和函数
当 $x=0$ 时，级数每一项为 $0$，所以和函数 $S(0)=0$。当 $x>0$ 时，级数为等比级数：$\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} e^{-nx} = x^{\alpha} e^{-x} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nx} = x^{\alpha} e^{-x} \cdot \frac{1}{1-e^{-x}}$。因此和函数为 $S(x)=\begin{cases} x^{\alpha} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}, & x>0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$ 对于 $|r|<1$
提示：注意 $x=0$ 时级数每一项为0，和函数为0，但极限形式可能不同。
步骤 2/7
目标：讨论一致收敛性：α<1
当 $0<\alpha<1$ 时，考虑 $x\to 0^+$ 时和函数的极限：$\lim_{x\to 0^+} S(x) = \lim_{x\to 0^+} x^{\alpha} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \lim_{x\to 0^+} x^{\alpha-1} \cdot \frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}} = +\infty$（因为 $\frac{x e^{-x}}{1-e^{-x}}\to 1$，而 $x^{\alpha-1}\to +\infty$）。因此和函数在 $x=0$ 处不连续，而每一项 $x^{\alpha} e^{-nx}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，故级数不一致收敛。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{x}{1-e^{-x}} = 1$
提示：利用和函数不连续判别不一致收敛是常用方法。
步骤 3/7
目标：讨论一致收敛性：α=1
当 $\alpha=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} x e^{-nx}$。余项 $R_n(x) = S(x) - S_n(x) = x e^{-nx} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}$。取 $x_n = \frac{1}{n}$，则 $\sup_{x>0} |R_n(x)| \ge |R_n(\frac{1}{n})| = \frac{1}{n} e^{-1} \frac{e^{-1/n}}{1-e^{-1/n}} \to e^{-1} \neq 0$（因为 $\frac{1/n}{1-e^{-1/n}} \to 1$）。因此级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\lim_{t\to 0} \frac{t}{1-e^{-t}} = 1$
提示：选取合适的点 $x_n$ 使得余项下界不趋于0。
步骤 4/7
目标：讨论一致收敛性：α>1
当 $\alpha>1$ 时，记 $u_n(x)=x^{\alpha} e^{-nx}$。求导得 $u_n'(x)=x^{\alpha-1} e^{-nx}(\alpha - nx)$，令导数为0得最大值点 $x_n = \frac{\alpha}{n}$。于是 $0 \le u_n(x) \le u_n(x_n) = \left(\frac{\alpha}{n}\right)^{\alpha} e^{-\alpha} = \alpha^{\alpha} e^{-\alpha} \frac{1}{n^{\alpha}}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 当 $\alpha>1$ 时收敛，由 Weierstrass M-判别法知级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M-判别法：若 $|u_n(x)| \le M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意 $x=0$ 时 $u_n(0)=0$，最大值在内部取得。
步骤 5/7
目标：证明级数不一致收敛但可逐项求导（第2问）
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} n x e^{-nx}$，通项 $u_n(x)=n x e^{-nx}$。取 $x_n = \frac{1}{n}$，则 $u_n(x_n)=e^{-1}$ 不趋于0，故通项不一致收敛于0，从而级数不一致收敛。为证可逐项求导，对任意 $x_0>0$，取 $\delta,b$ 使 $0<\delta
公式：逐项求导定理：若 $\sum u_n$ 收敛，$\sum u_n'$ 一致收敛，则 $\frac{d}{dx}\sum u_n = \sum u_n'$。
提示：注意不一致收敛并不妨碍逐项求导，需在闭区间上验证一致收敛性。
步骤 6/7
目标：证明级数一致收敛（第3问）
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x e^{-nx}}{n^{\alpha}}$，$\alpha>0$。当 $x=0$ 时，项为0。当 $x>0$ 时，利用指数函数的泰勒展开：$e^{nx} = 1 + nx + \frac{(nx)^2}{2!} + \cdots > nx$，因此 $\frac{x e^{-nx}}{n^{\alpha}} = \frac{x}{n^{\alpha} e^{nx}} < \frac{x}{n^{\alpha} \cdot nx} = \frac{1}{n^{\alpha+1}}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha+1}}$ 当 $\alpha>0$ 时收敛，由 Weierstrass M-判别法知级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$e^{nx} > nx$ 对于 $x>0$
提示：注意 $x=0$ 时不等式也成立（0<1/n^{α+1}），但需单独处理。
步骤 7/7
目标：证明级数一致收敛（第4问）
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} e^{-n x^2}$，$\alpha>2$。记 $u_n(x)=x^{\alpha} e^{-n x^2}$。求导得 $u_n'(x)=x^{\alpha-1} e^{-n x^2}(\alpha - 2n x^2)$，令导数为0得最大值点 $x_n = \sqrt{\frac{\alpha}{2n}}$。于是 $0 \le u_n(x) \le u_n(x_n) = \left(\frac{\alpha}{2n}\right)^{\alpha/2} e^{-\alpha/2} = \left(\frac{\alpha}{2}\right)^{\alpha/2} e^{-\alpha/2} \frac{1}{n^{\alpha/2}}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha/2}}$ 当 $\alpha/2 > 1$ 即 $\alpha>2$ 时收敛，由 Weierstrass M-判别法知级数在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M-判别法
提示：注意区间是 $(0,+\infty)$，但 $x=0$ 时项为0，不影响一致收敛性。
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