中册 6.3 函数项级数 第7题
📝 题目
7．函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ，证明 ：（1）在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不一致收敛；（2）求和函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ；（3）和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续；（4）和函数在 $(0,+\infty)$ 上任意阶可导。南开大学 2008，南昌大学 2010，首都师大 2007，西北工大 2007，福州大学 2005，杭州师大 2007／2014，南京师大 2001，三峡大学 2006 ，太原科技 2005 ，天津大学 2001 ，大连理工 2000 ，山东师大 2008 ，华南理工 2002 ，北京化工 2007，华东理工 $2003 / 2006$ ，北京交大 1998，华中师大 2008，南京农大 2005，复旦大学 1998）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle u_{n}(x)=n \mathrm{e}^{-n x} . \forall x \in(0,+\infty), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=\mathrm{e}^{-x}<1$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛。
因 $\displaystyle \sup _{0\delta>0$ 使得 $0<\delta\delta>0$ 使得 $0<\delta
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明级数在(0,+∞)上收敛
设 $u_n(x)=n e^{-n x}$。对任意 $x>0$，由比值判别法：
$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)e^{-(n+1)x}}{n e^{-n x}}=e^{-x}<1,$$
故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=e^{-x}<1$$
提示：注意比值判别法要求极限小于1，这里 $e^{-x}<1$ 对任意 $x>0$ 成立。
步骤 2/5
目标：证明级数在(0,+∞)上不一致收敛
考虑 $x_n=\frac{1}{n}\in(0,+\infty)$，则
$$\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge |u_n(x_n)|=n e^{-n\cdot\frac{1}{n}}=n e^{-1}\to\infty\ (n\to\infty),$$
故 $u_n(x)$ 不一致收敛于0，从而原级数不一致收敛。
公式：$$\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge n e^{-1}$$
提示：不一致收敛的证明常用反例：取 $x_n$ 使得 $u_n(x_n)$ 不趋于0。
步骤 3/5
目标：求和函数S(x)
记 $S_m(x)=\sum_{n=1}^m n e^{-n x}$。考虑 $e^x S_m(x)=\sum_{n=1}^m n e^{-(n-1)x}$，则
$$(e^x-1)S_m(x)=m e^{-(m-1)x}+\sum_{n=0}^{m-1}e^{-n x}=m e^{-(m-1)x}+\frac{1-e^{-m x}}{1-e^{-x}}.$$
令 $m\to\infty$，注意到 $m e^{-(m-1)x}\to0$，$e^{-m x}\to0$，得
$$S(x)=\frac{1}{e^x-1}\cdot\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{e^x}{(e^x-1)^2}.$$
公式：$$S(x)=\frac{e^x}{(e^x-1)^2}$$
提示：求和时注意利用等比数列求和公式，并正确处理极限。
步骤 4/5
目标：证明和函数S(x)在(0,+∞)上连续
对任意 $x_0>0$，取 $\delta,b$ 使 $0<\delta
公式：$$|u_n(x)|\le n e^{-n\delta}$$
提示：一致收敛的证明需用M判别法，注意区间端点选取。
步骤 5/5
目标：证明和函数S(x)在(0,+∞)上任意阶可导
对任意 $k\ge1$，$u_n^{(k)}(x)=(-1)^k n^{k+1}e^{-n x}$。对任意 $x_0>0$，取 $\delta,b$ 使 $0<\delta
公式：$$u_n^{(k)}(x)=(-1)^k n^{k+1}e^{-n x}$$
提示：逐项求导需验证导数级数一致收敛，注意控制 $n^{k+1}e^{-n\delta}$ 的收敛性。
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