中册 6.3 函数项级数 第8题
📝 题目
8．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 的和函数为 $S(x)$ ，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数在 $(0,+\infty)$ 上任意阶可导．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $u_{n}(x)=n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 。因 $\displaystyle \sup _{0\delta>0$ 使得 $0<\delta
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明级数不一致收敛
考虑通项 $u_n(x)=n^2 e^{-nx}$。取 $x_n=\frac{1}{n}$，则 $u_n(x_n)=n^2 e^{-1}$，故 $\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge n^2 e^{-1}\to\infty$，因此 $u_n(x)$ 不一致收敛于0，从而级数不一致收敛。
公式：$\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge u_n(1/n)=n^2 e^{-1}$
提示：注意不一致收敛的判定：存在点列使通项不趋于0。
步骤 2/5
目标：证明和函数在任意闭区间上一致收敛
对任意 $[\delta, b]\subset(0,+\infty)$，当 $x\in[\delta,b]$ 时，$|u_n(x)|\le n^2 e^{-n\delta}$。由于 $\sum n^2 e^{-n\delta}$ 收敛（根值判别法），由Weierstrass判别法知级数在 $[\delta,b]$ 上一致收敛。
公式：$|u_n(x)|\le n^2 e^{-n\delta}$
提示：注意闭区间端点不能包含0，因为 $\delta>0$。
步骤 3/5
目标：证明和函数连续
由一致收敛的级数每一项连续，则和函数在 $[\delta,b]$ 上连续。由于 $\delta,b$ 任意，故和函数在 $(0,+\infty)$ 上连续。
提示：连续性是局部性质，只需在每个闭区间上连续即可。
步骤 4/5
目标：证明第二个级数不一致收敛
考虑 $u_n(x)=e^{-n^2 x}$。取 $x_n=1/n^2$，则 $u_n(x_n)=e^{-1}$，故 $\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge e^{-1}$，不一致收敛于0，从而级数不一致收敛。
公式：$\sup_{x>0}|u_n(x)|\ge u_n(1/n^2)=e^{-1}$
提示：类似第一问，注意点列选取。
步骤 5/5
目标：证明和函数任意阶可导
对任意 $k\ge0$，$u_n^{(k)}(x)=(-1)^k n^{2k} e^{-n^2 x}$。对任意 $x_0>0$，取 $\delta,b$ 使 $0<\delta
公式：$|u_n^{(k)}(x)|\le n^{2k} e^{-n^2\delta}$
提示：注意逐项求导的条件：导数项一致收敛。
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