中册 6.3 函数项级数 第9题
📝 题目
9．证明下列结论．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。但对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{4}}$ 关于 $x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）先证：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．
方法 1：取 $\displaystyle b_{n}(x)=(-1)^{n-1}, a_{n}(x)=\frac{1}{n+x^{2}}$ ，则 $\displaystyle \forall n,\left|\sum_{k=1}^{n} b_{k}(x)\right|=\left|\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\right| \leqslant 1, a_{n}(x)=\frac{1}{n+x^{2}}$ 对每个 $x$ 单调递减，$\displaystyle \left|a_{n}(x)\right| \leqslant \frac{1}{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 一致趋于 0 ．由 Dirichlet 判断法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n+x^{2}}$ 关于 $x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
方法 2：取 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n+x^{2}}$ ，则 $\forall x \in(-\infty,+\infty), \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=0$ ，且 $u_{n+1}(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数一致收敛（方法1：Dirichlet判别法）
令 $b_n(x)=(-1)^{n-1}$, $a_n(x)=\frac{1}{n+x^2}$。则部分和 $\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right| = \left|\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\right| \leq 1$，一致有界。$a_n(x)$ 对每个 $x$ 关于 $n$ 单调递减，且 $|a_n(x)| \leq \frac{1}{n} \to 0$ 关于 $x$ 一致。由Dirichlet判别法，$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $\sum b_n(x)$ 部分和一致有界，$a_n(x)$ 单调且一致趋于0，则 $\sum a_n(x)b_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意 $a_n(x)$ 的单调性对每个固定的 $x$ 成立，且 $\frac{1}{n+x^2} \leq \frac{1}{n}$ 保证一致趋于0。
步骤 2/4
目标：证明级数一致收敛（方法2：Leibniz判别法）
令 $u_n(x)=\frac{1}{n+x^2}$，则对任意 $x$，$u_n(x)$ 单调递减趋于0。由Leibniz判别法，级数收敛，且余项 $|R_n(x)| \leq u_{n+1}(x) < \frac{1}{n+1}$。因此 $\sup_{x\in(-\infty,+\infty)}|R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1} \to 0$，故一致收敛。
公式：Leibniz判别法：若 $u_n(x)$ 单调递减且一致趋于0，则交错级数 $\sum (-1)^{n-1}u_n(x)$ 一致收敛，且 $|R_n(x)|\leq u_{n+1}(x)$。
提示：余项估计 $|R_n(x)|\leq u_{n+1}(x)$ 是证明一致收敛的关键，注意上确界趋于0。
步骤 3/4
目标：证明级数非绝对收敛
对任意固定的 $x$，$\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n+x^2}\right| = \frac{1}{n+x^2} \sim \frac{1}{n}$（$n\to\infty$）。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 发散，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+x^2}$ 发散，故原级数非绝对收敛。
公式：比较判别法：若 $a_n \sim b_n$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
提示：注意 $\frac{1}{n+x^2} \sim \frac{1}{n}$ 对每个固定的 $x$ 成立，但 $x$ 变化时需小心，这里只需逐点非绝对收敛。
步骤 4/4
目标：证明第二个级数一致收敛
令 $u_n(x)=\frac{1}{n+x^4}$，则对任意 $x$，$u_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减且趋于0。由Leibniz判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^4}$ 收敛，且余项 $|R_n(x)| \leq u_{n+1}(x) = \frac{1}{n+1+x^4} \leq \frac{1}{n+1}$。因此 $\sup_{x\in(-\infty,+\infty)}|R_n(x)| \leq \frac{1}{n+1} \to 0$，故一致收敛。
公式：Leibniz判别法及余项估计。
提示：注意 $x^4 \geq 0$，所以 $\frac{1}{n+1+x^4} \leq \frac{1}{n+1}$，从而余项一致趋于0。
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