中册 6.3 函数项级数 第10题

\section*{解题过程：} （1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}}{n^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ ． 由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收玫．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ 为收玫的交错级数，在任何区间上一致收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收敛． 又因对任意 $\displaystyle x,\left|(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}\right| \geqslant \frac{1}{n}$ ，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}\right|$ 发散，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何一点上都不绝对收敛。 （2）原级数可化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{n^{\frac{3}{2}}}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ ．显然，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$ 关于 $x$ 一致收玫．又 $\mathrm{e}^{x^{2}}$ 在 $[a, b]$ 上有界。因一致收玫级数各项同乘以一有界函数后仍一致收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 一致收敛，从而原级数在任何有穷区间 $[a, b]$ 上一致收敛． 又 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{n^{\frac{3}{2}}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 收玫，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}\right|$ 发散，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 在任何一点 $x_{0}$ 处不绝对收敛。 注：此例说明一致收敛并不意味着绝对收敛。