中册 6.3 函数项级数 第11题

\section*{解题过程：} （1）先证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上收敛且一致收敛，但对任何 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛。由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+x^{2}}$ 为交错级数，$\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left\{\frac{n}{n^{2}+x^{2}}\right\}$ 单调减少趋于零，故由 leibniz 判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+x^{2}}$ 收玫，且其余和 $\displaystyle \left|R_{n}(x)\right| \leqslant\left|u_{n+1}(x)\right|=\frac{n+1}{(n+1)^{2}+x^{2}} \leqslant \frac{1}{n+1}$ ，进而 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{(-\infty,+\infty)}\left|R_{n}(x)\right|=0$ ．所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛． 但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{x^{2}+n^{2}} \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛。事实上， $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty), \frac{n}{n^{2}+x^{2}} \sim \frac{1}{n}$ ，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，因此 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n} \frac{n}{n^{2}+x^{2}}\right|$ 发散。 再讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的收敛性． 记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|u_{n}(x)\right| \leqslant \frac{|x|}{n^{2}}$ ．由于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ，且级数是绝对收敛的，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致收敛。事实上， 对 $\displaystyle x>0, \sum_{k=N}^{N+p} \frac{x}{x^{2}+k^{2}} \geqslant \frac{p x}{x^{2}+(N+p)^{2}}$ ，对任意正整数 $N$ ，取 $p_{N}=N, x_{N}=N$ 有 $$ \sum_{k=N}^{N+p_{v}} \frac{x_{N}}{x_{N}^{2}+k^{2}}=\sum_{k=N}^{2 N} \frac{N}{N^{2}+k^{2}} \geqslant N \frac{N}{N^{2}+(2 N)^{2}}=\frac{1}{5} $$ 由柯西准则，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致收敛。 （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ ． 由于对 $\displaystyle x \in[a, b],\left|\frac{x}{x^{2}+n^{2}}\right| \leqslant(|a|+|b|) \frac{1}{n^{2}}$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛。 又由（1）知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{n^{2}+x^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，于是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收玫。 又级数的每一项在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 的和函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （3）由（2）知函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $|x|<1$ 连续．