中册 6.3 函数项级数 第12题
📝 题目
12．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x},(a0) .(a=2, b=3:$ 华东师大 1998，南昌大学 2009，地质大学 2003，南京财大 2008，西安交大 2000；$a=$ 3，$b=$ 4：温州大学 2007；$a=3, b=8$ ：电子科技 2014；$a=3, b=5$ ：南京师大 2013）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\forall x \in(0,+\infty)$ 有 $\displaystyle \left|a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}\right| \leqslant a^{n} \frac{1}{b^{n} x}=\frac{1}{x}\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ ，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x}\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内处处收敛．
又由于 $\displaystyle \sup _{x \in(0, \infty)} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}=a^{n} \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\displaystyle a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致收敛于零，因此函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致收敛。
对 $\displaystyle x \in[c,+\infty),\left|a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}\right| \leqslant \frac{1}{c}\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ 收玫，故函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x}$ 在 $[c,+\infty)$ 内
一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明级数在(0,+∞)上处处收敛
对于任意固定的 $x \in (0, +\infty)$，考虑通项 $a^n \sin\frac{1}{b^n x}$。由于 $|\sin y| \leq |y|$，有 $\left|a^n \sin\frac{1}{b^n x}\right| \leq a^n \cdot \frac{1}{b^n x} = \frac{1}{x}\left(\frac{a}{b}\right)^n$。因为 $a
公式：$|\sin y| \leq |y|$
提示：注意 $x$ 是固定的，但 $\frac{1}{x}$ 可能很大，不过不影响收敛性，因为几何级数收敛。
步骤 2/4
目标：证明级数在(0,+∞)上不一致收敛
要证明不一致收敛，只需证明通项不一致收敛于0。考虑 $x_n = \frac{2}{\pi b^n}$，则 $\sin\frac{1}{b^n x_n} = \sin\frac{\pi}{2}=1$，于是 $a^n \sin\frac{1}{b^n x_n} = a^n$。当 $n\to\infty$ 时，$a^n \to +\infty$，因此 $\sup_{x\in(0,+\infty)} \left|a^n \sin\frac{1}{b^n x}\right| \geq a^n \to +\infty$，故通项不一致收敛于0。由函数项级数一致收敛的必要条件（通项一致收敛于0），原级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$\sup_{x\in(0,+\infty)} |u_n(x)| \geq a^n$
提示：选取合适的 $x_n$ 是关键，要使得 $\sin$ 值接近1，且 $x_n$ 在定义域内。
步骤 3/4
目标：证明级数在[c,+∞)上一致收敛
对于 $x \in [c, +\infty)$，有 $\frac{1}{x} \leq \frac{1}{c}$，因此 $\left|a^n \sin\frac{1}{b^n x}\right| \leq a^n \cdot \frac{1}{b^n x} \leq \frac{1}{c}\left(\frac{a}{b}\right)^n$。由于 $\frac{a}{b}<1$，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{c}\left(\frac{a}{b}\right)^n$ 收敛，且与 $x$ 无关。由 Weierstrass 判别法（M-判别法），原级数在 $[c,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\left|a^n \sin\frac{1}{b^n x}\right| \leq \frac{1}{c}\left(\frac{a}{b}\right)^n$
提示：注意 $c>0$ 是固定的，$\frac{1}{c}$ 是常数，因此可以构造优级数。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty a^n \sin\frac{1}{b^n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上处处收敛，但不一致收敛；在任意 $[c,+\infty)$（$c>0$）上一致收敛。
提示：注意处处收敛与一致收敛的区别：处处收敛是点态性质，一致收敛是整体性质。
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