中册 6.3 函数项级数 第13题
📝 题目
13．证明下列结论．
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：（1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $[\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上一致收玫，其中 $0<\alpha<\pi$ ；（2）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛的充要条件是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。华中师大 2007）
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列，证明若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
💡 答案解析
解题过程：
（1）由 $\displaystyle \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos k x=\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x, x \in(0,2 \pi)$ 得，在 $[\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上有
$$
\left|\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right|=\left|\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\frac{1}{2}\right| \leqslant \frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}+\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{2} .
$$
即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \cos n x$ 的部分和函数列在 $[\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上一致有界．由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$在 $[\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上一致收敛．
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛，则当 $x=2 \pi$ 时 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛．
下证：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛。
由 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 知 $a_{n} \geqslant 0$ ．又对 $x \in[0,2 \pi],\left|a_{n} \cos n x\right| \leqslant a_{n}$ ，由 M 判别法得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛．
（2）由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，于是 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $N>0$ ，当 $n>N$ 时，对任意 $x$ 有
$$
\left|a_{n} \sin n x+a_{n+1} \sin (n+1) x+\cdots+a_{2 n} \sin 2 n x\right|<\varepsilon
$$
取 $\displaystyle x=\frac{1}{2 n}$ ，有
$$
0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明(1)中在闭区间上一致收敛
首先，利用三角恒等式：$\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx = \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}$，$x\in(0,2\pi)$。对于$x\in[\alpha,2\pi-\alpha]$，有$\left|\sin\frac{x}{2}\right|\geq\sin\frac{\alpha}{2}>0$。于是部分和$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\cos kx$满足$|S_n(x)|\leq\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{2}$，即部分和函数列在$[\alpha,2\pi-\alpha]$上一致有界。由Dirichlet判别法，因为$\{a_n\}$单调递减趋于0，所以$\sum a_n\cos nx$在$[\alpha,2\pi-\alpha]$上一致收敛。
公式：$\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx = \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}$
提示：注意$\sin\frac{x}{2}$在区间端点处为零，但区间$[\alpha,2\pi-\alpha]$避开了这些点，从而有正下界。
步骤 2/5
目标：证明(1)中充要条件的必要性
若$\sum a_n\cos nx$在$[0,2\pi]$上一致收敛，则特别地，在$x=0$处收敛，即$\sum a_n\cos0 = \sum a_n$收敛。因此$\sum a_n$收敛是必要的。
提示：一致收敛蕴含逐点收敛，取特殊点即可。
步骤 3/5
目标：证明(1)中充要条件的充分性
若$\sum a_n$收敛，由$\{a_n\}$单调递减趋于0知$a_n\geq0$。对任意$x\in[0,2\pi]$，有$|a_n\cos nx|\leq a_n$。由于$\sum a_n$收敛，由Weierstrass M判别法知$\sum a_n\cos nx$在$[0,2\pi]$上一致收敛。
提示：注意$a_n$非负，且$|\cos nx|\leq1$，所以可用M判别法。
步骤 4/5
目标：证明(2)中利用一致收敛性得到不等式
由于$\sum a_n\sin nx$在$(-\infty,+\infty)$上一致收敛，则其部分和序列一致柯西。对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，当$n>N$时，对任意$x$有$\left|\sum_{k=n}^{2n}a_k\sin kx\right|<\varepsilon$。取$x=\frac{1}{2n}$，则$\sin\frac{k}{2n}$对于$k=n,\ldots,2n$均为正，且$\sin\frac{1}{2}\leq\sin\frac{k}{2n}\leq\sin1$。于是$\sum_{k=n}^{2n}a_k\sin\frac{k}{2n}\geq a_{2n}\sum_{k=n}^{2n}\sin\frac{1}{2}=n a_{2n}\sin\frac{1}{2}$。因此$n a_{2n}\sin\frac{1}{2}<\varepsilon$，故$\lim_{n\to\infty}2n a_{2n}=0$。
提示：注意$x$的选取要使得所有正弦项为正，且下界一致。
步骤 5/5
目标：证明(2)中奇数项趋于0
类似地，取$x=\frac{1}{2n+1}$，考虑$\sum_{k=n+1}^{2n+1}a_k\sin kx$，可得$(n+1)a_{2n+1}\sin\frac{1}{2}<\varepsilon$，从而$\lim_{n\to\infty}(2n+1)a_{2n+1}=0$。综合得$\lim_{n\to\infty} n a_n=0$。
提示：注意下标范围，确保项数足够。
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