中册 6.3 函数项级数 第14题

解题过程： （1）$\forall x \in(0,2 \pi)$ ， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right|=\frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\left|\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\cos \frac{1}{2} x\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|}, $$ 即 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n x$ 的部分和函数列有界．$\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}$ 单调减少收敛于 0 ．由 Dirichlet 判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 收敛． 又 $\forall \varepsilon, 0<\varepsilon<\pi$ ，在 $[\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 上， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right|=\frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\left|\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\cos \frac{1}{2} x\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|} \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{\varepsilon}{2}\right|} . $$ 所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n x$ 的部分和函数列在 $[\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 一致有界，而 $\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}$ 在 $[\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 一致收敛于 0 ．由 Dirichlet 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在 $[\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 一致收敛，从而在 $(0,2 \pi)$ 内闭一致收敛． 下证：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在 $(0,2 \pi)$ 不一致收敛． 方法 1：取 $\displaystyle x_{n}=\frac{\pi}{2 n} \in(0,2 \pi), n \in \mathbf{N}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin n \cdot \frac{\pi}{2 n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在 $(0,2 \pi)$ 不一致收敛。 方法 2：取 $\displaystyle \varepsilon_{0}=\frac{\sqrt{2}}{4}, \forall N \in \mathbf{N}, \exists n>N, \exists p=n, \exists x_{0}=\frac{\pi}{4 n} \in U(0, \delta)$ 有 $$ \left|\sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{\sin k x_{0}}{k}\right| \geqslant \sum_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \sin \frac{\pi}{4}>\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}=\varepsilon_{0} . $$ 由柯西收敛准则，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 非一致收敛。 注：该类题型关键是要找出 $x_{0}$ 与 $n_{0}$ 及 $p$ 之间的关系，从而凑出 $\varepsilon_{0}$ ．