中册 6.3 函数项级数 第15题

\section*{解题过程：} （1）当 $x=2 m \pi, m=1,2, \cdots$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} \sin x \sin n x=0$ ． 当 $x \neq 2 m \pi, m=1,2, \cdots$ 时， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin x \sin k x\right|=|\sin x|\left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right| \leqslant|\sin x| \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|}=2\left|\cos \frac{x}{2}\right| \leqslant 2 . $$ 于是对一切 $x \in[0,+\infty)$ 均有 $\left|\sum_{k=1}^{n} \sin x \sin k x\right| \leqslant 2$（一致有界）． 又 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+n}}$ 对每个固定的 $x \in[0,+\infty)$ 关于 $n$ 是单调递减的，且 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{\sqrt{x+n}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$ ，由此得 $\displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{x+n}}\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛于 0 ． 由 Dirichlet 判别法，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{x+n}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫． （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) \frac{x^{n}}{1-x^{2 n}} \sin n x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^{n}} \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}} \sin n x$ ． 先证：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}} \sin n x$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内一致收敛。 （1）$\displaystyle \forall x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right|=\left|\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin \frac{x}{2} \sin k x\right|=\left|\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}\left[\cos \frac{1}{2} x-\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x\right]\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|} \leqslant \frac{1}{\sin \frac{1}{4}} . $$ 故 $\left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right|$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内关于 $x$ 与 $n$ 一致有界。 （2）对固定 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 有 $\displaystyle \left[\frac{(1-x) x^{y}}{1-x^{y}}\right]_{y}^{\prime}=\frac{(1-x) x^{y} \ln x}{\left(1-x^{y}\right)^{2}}<0$ ，故 $\displaystyle \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}}$ 关于 $n$ 单调递减． 又当 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 时， $$ 0 \leqslant \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}}=\frac{x^{n}}{1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}} \leqslant \frac{x^{n}}{n x^{n-1}}=\frac{x}{n}<\frac{1}{n} . $$ 这表明在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内，$\displaystyle \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}}$ 关于 $n$ 单调减少且一致收敛于 0 ． 由 Dirichlet 判别法，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}} \sin n x$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内一致收敛。 再证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) \frac{x^{n}}{1-x^{2 n}} \sin n x$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内一致收敛。 对固定的 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right),\left(\frac{1}{1+x^{y}}\right)_{\frac{y}{y}}^{\prime}=\frac{-x^{y} \ln x}{\left(1+x^{y}\right)^{2}}>0$ ，故 $\displaystyle \left\{\frac{1}{1+x^{n}}\right\}$ 关于 $n$ 单调增加．又 $\displaystyle \left|\frac{1}{1+x^{n}}\right| \leqslant 1$ ，这表明 $\displaystyle \frac{1}{1+x^{n}}$ 关于 $x$ 与 $n$ 一致有界。根据阿贝尔判别法，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+x^{n}} \cdot \frac{(1-x) x^{n}}{1-x^{n}} \sin n x$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$内一致收敛。 （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{n}}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ ．记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{n}, v_{n}(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ ． 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{n}}$ 收敛，从而在 $[0,1]$ 一致收敛．对每个 $x \in[0,1],\left\{v_{n}(x)\right\}$ 单调增加，对 $\forall x \in[0,1]$ 和 $\forall n$ 有 $\displaystyle \left|v_{n}(x)\right|=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}$ ．由 Abel 判别法，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛． （4）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left\{\frac{1}{x^{2}+n}\right\}$ 单调减少趋于 0 ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{x^{2}+n}$ 收敛，且余和 $\displaystyle \left|R_{n}(x)\right| \leqslant \frac{1}{x^{2}+n+1} \leqslant \frac{1}{n+1}$ ，从而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{x^{2}+n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 对每个 $x \in(-\infty,+\infty),\{\arctan n x\}$ 单调，对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 和 $\forall n$ 有 $\displaystyle |\arctan n| \leqslant \frac{\pi}{2}$ ． 由 Abel 判别法得函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \arctan n x}{x^{2}+n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫。