中册 6.3 函数项级数 第16题

\section*{解题过程：} （1）又 $\forall \alpha, 0<\alpha<\pi$ ，在 $[\alpha, \pi]$ 上 $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right|=\frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\left|\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\cos \frac{1}{2} x\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|} \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha}{2}\right|} . $$ 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n x$ 的部分和函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, \pi]$ 上一致有界，而 $\displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{n}}\right\}$ 在 $[\alpha, \pi]$ 上一致收敛于 0 ，由 Dirichlet 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}$ 在 $[\alpha, \pi]$ 一致收敛。 取 $\displaystyle x_{n}=\frac{\pi}{2 n} \in(0,2 \pi), n \in \mathbf{N}^{+}$，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 。但级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n \cdot \frac{\pi}{2 n}}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}$ 在 $[0, \pi]$ 内不一致收敛。 （2）取 $\displaystyle x_{n}=\frac{\pi}{2 n} \in(0,2 \pi), n \in \mathbf{N}^{+}$，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(x_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+\frac{\pi}{2 n}}} \sin n \cdot \frac{\pi}{2 n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+\frac{\pi}{2 n}}}$发散，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n+x}}$ 在 $[0, \pi]$ 内不一致收敛。 （3）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ， $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \sin x \cos n x\right|=\left|\cos \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{n} 2 \sin \frac{x}{2} \cos k x\right|=\left|\cos \frac{x}{2}\right| \cdot\left|\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \frac{x}{2}\right| \leqslant 2 . $$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ 对固定的 $x \in(-\infty,+\infty)$ 关于 $n$ 是单调的，且在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于零．由 Dirichlet 判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \cos n x}{\sqrt{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 （4）与（3）类似可证函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛． （5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-\cos x) \sin n x}{\sqrt{n+x}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n+x}}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos x \sin n x}{\sqrt{n+x}}, x \in[0,2 \pi]$ ． 对每个 $\displaystyle x \in[0,2 \pi],\left\{\frac{1}{\sqrt{n+x}}\right\}$ 单调减少，由 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{\sqrt{n+x}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{n}}$ 知 $\displaystyle \left\{\frac{1}{\sqrt{n+x}}\right\}$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛于 0 ．又 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} \cos x \sin k x\right|=\frac{1}{2}\left|\sum_{k=1}^{n}(\sin (k+1) x-\sin (k-1) x)\right|=\frac{1}{2}|\sin (n+1) x| \leqslant 1$ ．故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos x \sin n x}{\sqrt{n+x}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛． 与（2）类似可证函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n+x}}$ 在 $[0,2 \pi]$ 不一致收敛． 于是函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-\cos x) \sin n x}{\sqrt{n+x}}$ 在 $[0,2 \pi]$ 不一致收敛． （6）方法 1：由于 $\displaystyle \forall x \in[-l, l],\left|\cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}\right| \leqslant \frac{|x|}{2 n(n+1)}<\frac{l}{n^{2}}$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，由 M 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}$ 在 $[-l, l]$ 上一致收敛。 记 $\displaystyle u_{n}(x)=\cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}$ ，取 $x_{n}=2 n(n+1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}\left(x_{n}\right)-0\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos (2 n+1) \sin 1$ 不存在，所以 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在定义域内非一致收敛于 0 ，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $x \in(-\infty, \infty)$ 内非一致收敛。 方法 2：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}$ 的部分和函数： $$ \begin{aligned} S_{n}(x) & =\sum_{k=1}^{n} \cos \frac{(2 k+1) x}{2 k(k+1)} \sin \frac{x}{2 k(k+1)}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\sin \frac{2(k+1) x}{2 k(k+1)}-\sin \frac{2 k x}{2 k(k+1)}\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\sin \frac{x}{k}-\sin \frac{x}{k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin x-\sin \frac{x}{n+1}\right) \end{aligned} $$ 和函数 $\displaystyle S(x)=\frac{1}{2} \sin x$ ． 由 $\displaystyle \sup _{[-l, l]}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=\frac{1}{2} \sup _{[-l, l]}\left|\sin \frac{x}{n+1}\right| \leqslant \frac{1}{2} \frac{|l|}{n+1}$ 得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{[-l, l]}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=0$ 。故级数在 $[-l, l]$ 上一致收敛。 由 $\displaystyle \sup _{(-\infty,+\infty)}\left|S_{n}(x)-S(x)\right|=\frac{1}{2} \sup _{(-\infty,+\infty)}\left|\sin \frac{x}{n+1}\right|=\frac{1}{2}$ 得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{(-\infty,+\infty)}\left|S_{n}(x)-S(x)\right| \neq 0$ 。故级数在 $(-\infty,+\infty)$内非一致收敛。