中册 6.3 函数项级数 第17题
📝 题目
17．研究下列函数级数项的一致收玫性．
（1）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性．
（2）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性。南京大学 1999）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在 $(0,1)$ 上不一致收敛，但在 $[-\delta, \delta](0<\delta<1)$ 上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\displaystyle f(x)=x^{n}+\frac{1}{x^{n}}, x \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ ，则
$$
f^{\prime}(x)=n x^{n-1}-n \frac{1}{x^{n+1}}=n \frac{1}{x^{n+1}}\left(x^{2 n}-1\right)
$$
易得 $\displaystyle \max _{x \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]} f(x)=2^{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ．从而
$$
\frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right) \leqslant \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}{\mathrm{e}^{n} 2^{n}}
$$
由于
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}\left(4^{n+1}+1\right)}{2^{n+1} \mathrm{e}^{n+1}} \cdot \frac{2^{n} \mathrm{e}^{n}}{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \mathrm{e}} \cdot \frac{(n+1)^{2}\left(4^{n+1}+1\right)}{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}=\frac{2}{\mathrm{e}}<1
$$
故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}{2^{n} \mathrm{e}^{n}}$ 收敛，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上一致收敛。
（2）由（1）知 $\displaystyle \max _{x \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]} f(x)=2^{n}+\frac{1}{2^{n}}$ ．从而
$$
\frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right) \leqslant \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)=\frac{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}{2^{n} \sqrt{n!}}
$$
由于
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{2}\left(4^{n+1}+1\right)}{2^{n+1} \sqrt{(n+1)!}} \cdot \frac{2^{n} \sqrt{n!}}{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \sqrt{(n+1)}} \cdot \frac{(n+1)^{2}\left(4^{n+1}+1\right)}{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}=0<1
$$
故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}\left(4^{n}+1\right)}{2^{n} \sqrt{n!}}$ 收敛，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上一致收敛。
（3）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{x^{n}}{x^{n}+1}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=0$ ．
由于 $\displaystyle \sup _{x \in(0.1)}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\sup _{x \in(0.1)} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，因此 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1)$ 上不一致收敛于 0 ，从而函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在 $(0,1)$ 上不一致收敛。
又 $\displaystyle \forall x \in[-\delta, \delta],\left|\frac{x^{n}}{1+x^{n}}\right| \leqslant \frac{|x|^{n}}{1-|x|^{n}} \leqslant \frac{\delta^{n}}{1-\delta^{n}}$ ．由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\delta^{n}}{1-\delta^{n}}}{\delta^{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\delta^{n}}=1$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \delta^{n}$ 收敛，于是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\delta^{n}}{1-\delta^{n}}$ 收敛，从而函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在 $[-\delta, \delta],(0<\delta<1)$ 上一致收敛．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数最大值
对于函数 $f(x)=x^n+\frac{1}{x^n}$ 在区间 $[\frac{1}{2},2]$ 上，求导得 $f'(x)=n x^{n-1}-n\frac{1}{x^{n+1}}=n\frac{1}{x^{n+1}}(x^{2n}-1)$。令导数为零得 $x=1$，比较端点值 $f(\frac{1}{2})=2^{-n}+2^n$，$f(2)=2^n+2^{-n}$，$f(1)=2$，故最大值为 $2^n+2^{-n}$。
公式：$\max_{x\in[1/2,2]} (x^n+1/x^n)=2^n+2^{-n}$
提示：注意求导时指数运算正确，比较端点值而非极值点。
步骤 2/7
目标：构造优级数（1）
由最大值得到 $\frac{n^2}{e^n}(x^n+\frac{1}{x^n}) \le \frac{n^2}{e^n}(2^n+\frac{1}{2^n}) = \frac{n^2(4^n+1)}{2^n e^n}$。考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2(4^n+1)}{2^n e^n}$，用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2(4^{n+1}+1)}{2^{n+1}e^{n+1}} \cdot \frac{2^n e^n}{n^2(4^n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2e} \cdot \frac{(n+1)^2(4^{n+1}+1)}{n^2(4^n+1)} = \frac{2}{e} < 1$，故该级数收敛。
公式：$\frac{n^2}{e^n}(x^n+\frac{1}{x^n}) \le \frac{n^2(4^n+1)}{2^n e^n}$
提示：比值判别法计算极限时注意化简，$\frac{4^{n+1}+1}{4^n+1} \to 4$。
步骤 3/7
目标：结论（1）
由优级数判别法（Weierstrass M-判别法），原级数在 $[\frac{1}{2},2]$ 上一致收敛。
提示：优级数收敛则原级数一致收敛，注意区间是闭区间。
步骤 4/7
目标：构造优级数（2）
类似地，$\frac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n+\frac{1}{x^n}) \le \frac{n^2}{\sqrt{n!}}(2^n+\frac{1}{2^n}) = \frac{n^2(4^n+1)}{2^n \sqrt{n!}}$。考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2(4^n+1)}{2^n \sqrt{n!}}$，用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2(4^{n+1}+1)}{2^{n+1}\sqrt{(n+1)!}} \cdot \frac{2^n \sqrt{n!}}{n^2(4^n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^2(4^{n+1}+1)}{n^2(4^n+1)} = 0 < 1$，故该级数收敛。
公式：$\frac{n^2}{\sqrt{n!}}(x^n+\frac{1}{x^n}) \le \frac{n^2(4^n+1)}{2^n \sqrt{n!}}$
提示：注意 $\sqrt{(n+1)!} = \sqrt{n!}\sqrt{n+1}$，化简时小心。
步骤 5/7
目标：结论（2）
由优级数判别法，原级数在 $[\frac{1}{2},2]$ 上一致收敛。
提示：与（1）类似，但分母是阶乘开方，收敛更快。
步骤 6/7
目标：证明不一致收敛（3）
记 $u_n(x)=\frac{x^n}{1+x^n}$，则 $\lim_{n\to\infty} u_n(x)=0$ 对 $x\in(0,1)$。但 $\sup_{x\in(0,1)} |u_n(x)-0| = \sup_{x\in(0,1)} \frac{x^n}{1+x^n} = \frac{1}{2}$（取 $x^n=1$ 即 $x=1$ 但不在区间内，实际上当 $x\to 1^-$ 时趋于 $1/2$），不趋于0，故不一致收敛。
公式：$\sup_{x\in(0,1)} \frac{x^n}{1+x^n} = \frac{1}{2}$
提示：上确界在边界点取到，注意区间开闭。
步骤 7/7
目标：证明一致收敛（3）
对 $x\in[-\delta,\delta]$，$0<\delta<1$，有 $|\frac{x^n}{1+x^n}| \le \frac{|x|^n}{1-|x|^n} \le \frac{\delta^n}{1-\delta^n}$。由于 $\lim_{n\to\infty} \frac{\delta^n/(1-\delta^n)}{\delta^n}=1$，且 $\sum \delta^n$ 收敛，故 $\sum \frac{\delta^n}{1-\delta^n}$ 收敛。由优级数判别法，原级数在 $[-\delta,\delta]$ 上一致收敛。
公式：$\left|\frac{x^n}{1+x^n}\right| \le \frac{\delta^n}{1-\delta^n}$
提示：注意 $x$ 可为负，但绝对值不等式成立；比较判别法需说明收敛性。
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