中册 6.3 函数项级数 第19题
📝 题目
19．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+x}$ ．
（1）研究函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．
（2）证明函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 内连续，且有连续导函数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n^{2}+x}$ ．显然 $u_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，又 $\displaystyle \left|u_{n}(x)\right|=\frac{1}{n^{2}+x} \leqslant \frac{1}{n^{2}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫，于是 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。从而 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
对任意 $x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)$ 有
$$
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n^{2}+x_{1}}-\frac{1}{n^{2}+x_{2}}\right|=\left|x_{1}-x_{2}\right| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}+x_{1}\right)\left(n^{2}+x_{2}\right)} \leqslant\left|x_{1}-x_{2}\right| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}\left|x_{1}-x_{2}\right| .
$$
所以 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是一致连续的．
又对任意 $0 \leqslant x_{1}-1$ ，
$$
0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析函数项级数的一致收敛性
记 $u_n(x)=\frac{1}{n^2+x}$，在 $[0,+\infty)$ 上连续。由于 $|u_n(x)|=\frac{1}{n^2+x}\leq \frac{1}{n^2}$，且 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛，由M-判别法知 $\sum u_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：M-判别法：$|u_n(x)|\leq M_n$，$\sum M_n$ 收敛则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛
提示：注意 $x\geq 0$ 时 $n^2+x\geq n^2$，因此放缩成立。
步骤 2/7
目标：证明连续性
由于 $u_n(x)$ 连续且级数一致收敛，和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续
提示：一致收敛是保证连续性的关键条件。
步骤 3/7
目标：证明一致连续性
对任意 $x_1,x_2\in[0,+\infty)$，有
$$|f(x_1)-f(x_2)|\leq \sum_{n=1}^\infty \left|\frac{1}{n^2+x_1}-\frac{1}{n^2+x_2}\right| = |x_1-x_2|\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n^2+x_1)(n^2+x_2)} \leq |x_1-x_2|\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}|x_1-x_2|.$$
因此 $f$ 满足Lipschitz条件，从而一致连续。
公式：Lipschitz条件：$|f(x_1)-f(x_2)|\leq L|x_1-x_2|$
提示：放缩时注意分母 $n^2+x_i\geq n^2$，且 $\sum 1/n^4=\pi^4/90$。
步骤 4/7
目标：证明单调性
对任意 $0\leq x_1
公式：逐项比较：若每项 $u_n(x_2)
提示：严格单调性要求每项严格不等，且级数收敛。
步骤 5/7
目标：证明可微性
求导得 $u_n'(x)=-\frac{1}{(n^2+x)^2}$，在 $[0,+\infty)$ 上连续。由于 $|u_n'(x)|=\frac{1}{(n^2+x)^2}\leq \frac{1}{n^4}$，且 $\sum 1/n^4$ 收敛，故 $\sum u_n'(x)$ 一致收敛。由逐项求导定理，$f'(x)=\sum u_n'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，即 $f$ 连续可微。
公式：逐项求导定理：若 $\sum u_n$ 收敛，$\sum u_n'$ 一致收敛，则 $f'=\sum u_n'$
提示：注意验证 $u_n'$ 连续且级数一致收敛。
步骤 6/7
目标：推广到 $(-1,+\infty)$ 上的连续性
对 $x>-1$，考虑 $n\geq 2$：$n^2+x = (n-1)^2+2(n-1)+1+x > (n-1)^2$（因为 $1+x>0$），故 $0
公式：M-判别法：$|u_n(x)|\leq \frac{1}{(n-1)^2}$
提示：注意 $n=1$ 时单独处理：$u_1(x)=\frac{1}{1+x}$ 在 $(-1,+\infty)$ 上连续，不影响一致收敛性。
步骤 7/7
目标：推广到 $(-1,+\infty)$ 上的连续可微性
对 $x>-1$，$|u_n'(x)|=\frac{1}{(n^2+x)^2}\leq \frac{1}{(n-1)^4}$（$n\geq 2$），$\sum \frac{1}{(n-1)^4}$ 收敛，故 $\sum u_n'(x)$ 一致收敛。由逐项求导定理，$f'(x)=\sum u_n'(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上连续，即 $f$ 有连续导函数。
公式：逐项求导定理
提示：同样注意 $n=1$ 时 $u_1'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}$ 连续，不影响。
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