中册 6.3 函数项级数 第20题
📝 题目
20．证明级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上点点收敛但不一致收敛，而在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $(\forall \delta>0)$ ，并讨论函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的有界性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{1+n^{2} x}$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(0,+\infty), \frac{1}{1+n^{2} x} \sim \frac{1}{x} \frac{1}{n^{2}}$ 。由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上点点收敛。
又由于 $\displaystyle \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|u_{n}(x)\right| \geqslant u_{n}\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2}$ ，所以 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收玫于 0 ，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛．
在 $[\delta,+\infty)$ 上，$\displaystyle \frac{1}{1+n^{2} x} \leqslant \frac{1}{1+n^{2} \delta}$ ，由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} \delta}$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛．
取 $\displaystyle x_{0}=\frac{1}{n^{2}} \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x_{0}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}=+\infty$ ，从而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明级数在(0,+∞)上点点收敛
对于任意固定的 $x \in (0, +\infty)$，考虑通项 $u_n(x) = \frac{1}{1 + n^2 x}$。当 $n \to \infty$ 时，$u_n(x) \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{n^2}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 收敛，故级数在 $(0,+\infty)$ 上点点收敛。
公式：$u_n(x) \sim \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{n^2}$
提示：注意比较判别法要求正项级数，这里 $u_n(x) > 0$，且 $\frac{1}{n^2}$ 的级数收敛是已知的。
步骤 2/5
目标：证明级数在(0,+∞)上不一致收敛
考虑 $x_n = \frac{1}{n^2} \in (0, +\infty)$，则 $u_n(x_n) = \frac{1}{1 + n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}$。因此 $\sup_{x \in (0,+\infty)} |u_n(x)| \geq u_n(x_n) = \frac{1}{2}$，即 $u_n(x)$ 不一致收敛于0。由函数项级数一致收敛的必要条件（通项一致收敛于0）知，原级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$u_n(x_n) = \frac{1}{2}$
提示：注意：函数项级数一致收敛的必要条件是通项一致收敛于0，这里通项不满足，故级数不一致收敛。
步骤 3/5
目标：证明级数在[δ,+∞)上一致收敛
对任意 $\delta > 0$，当 $x \geq \delta$ 时，有 $0 < \frac{1}{1 + n^2 x} \leq \frac{1}{1 + n^2 \delta}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^2 \delta}$ 收敛（因为 $\frac{1}{1 + n^2 \delta} \sim \frac{1}{\delta n^2}$），由Weierstrass M判别法知原级数在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。
公式：$\frac{1}{1 + n^2 x} \leq \frac{1}{1 + n^2 \delta}$
提示：注意M判别法要求找到一个与x无关的收敛级数作为优级数，这里$\frac{1}{1 + n^2 \delta}$就是这样的优级数。
步骤 4/5
目标：讨论f(x)在(0,+∞)上的有界性
取 $x_k = \frac{1}{k^2}$，则 $f(x_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^2 \cdot \frac{1}{k^2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + (n/k)^2}$。当 $n = k$ 时，项为 $\frac{1}{2}$；当 $n$ 接近 $k$ 时，项也接近常数。实际上，固定 $k$，考虑 $n$ 从1到无穷，但特别地，当 $n = k$ 时，项为 $\frac{1}{2}$，且所有项为正，故 $f(x_k) \geq \frac{1}{2}$。然而，更精确地，$f(x_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{k^2}{k^2 + n^2}$，当 $k$ 增大时，级数发散（因为通项趋于1，级数发散）。实际上，$f(x_k)$ 是发散的，因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界。
公式：$f(x_k) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + (n/k)^2}$
提示：注意：虽然级数点点收敛，但函数值可以无限大，因为当x趋近于0时，级数发散。
步骤 5/5
目标：总结
综上所述，级数 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^2 x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上点点收敛但不一致收敛，在任意 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛，且 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上无界。
提示：注意区分点点收敛与一致收敛的区别，以及有界性的判断方法。
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