中册 6.3 函数项级数 第21题
📝 题目
21．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ ．（1）求 $f(x)$ 的定义域 $D$ ；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ 在 $D$ 上不一致收敛； （3）证明 $f(x)$ 在 $D$ 上连续；（4）证明 $f(x)$ 在 $D$ 上无界．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
采用 20 题的方法证明．
（1）由 $\displaystyle \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}<\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}}$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ 收敛。于是 $f(x)$ 的定义域为 $D=(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ ．
（2）由于 $\displaystyle \sup _{x \in D}\left|u_{n}(x)\right| \geqslant u_{n}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}$ ，所以 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上不一致收敛于 0 ，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上不一致收敛．
（3）对 $\forall x_{0} \in D, \exists[a, b] \subset D$ ，使 $a
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定定义域
对于任意固定的 $x \neq 0$，有 $\frac{1}{1+n^2 x^2} < \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{n^2}$。由于 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2 x^2}$ 收敛。当 $x=0$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^\infty 1$，发散。因此定义域为 $D = (-\infty,0) \cup (0,+\infty)$。
公式：\frac{1}{1+n^2 x^2} < \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{n^2}
提示：注意 $x=0$ 时级数发散，需排除。
步骤 2/5
目标：证明不一致收敛
考虑函数项级数的一般项 $u_n(x) = \frac{1}{1+n^2 x^2}$。取 $x_n = \frac{1}{n} \in D$，则 $u_n(x_n) = \frac{1}{1+n^2 \cdot \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2}$。因此 $\sup_{x \in D} |u_n(x)| \geq \frac{1}{2}$，不趋于0，故 $\{u_n(x)\}$ 在 $D$ 上不一致收敛于0，从而级数不一致收敛。
公式：u_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{2}
提示：不一致收敛的证明常用取特殊点的方法，注意 $x_n$ 依赖于 $n$。
步骤 3/5
目标：证明连续性：局部一致收敛
对任意 $x_0 \in D$，存在闭区间 $[a,b] \subset D$ 使得 $a < x_0 < b$。令 $c = \min\{|a|,|b|\} > 0$。则对任意 $x \in [a,b]$，有 $|x| \geq c$，从而 $\frac{1}{1+n^2 x^2} \leq \frac{1}{1+n^2 c^2} < \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{n^2}$。由于 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，由M判别法知级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\frac{1}{1+n^2 x^2} \leq \frac{1}{c^2} \cdot \frac{1}{n^2}
提示：需要找到与 $x$ 无关的优级数，注意 $c$ 的取法。
步骤 4/5
目标：证明连续性：利用一致收敛性
每个 $u_n(x) = \frac{1}{1+n^2 x^2}$ 在 $[a,b]$ 上连续，且级数在 $[a,b]$ 上一致收敛，因此和函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。特别地，$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $D$ 上连续。
提示：连续函数的一致收敛级数的和函数连续。
步骤 5/5
目标：证明无界性
取 $x_n = \frac{1}{n} \in (0,+\infty)$，则 $f(x_n) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+k^2 x_n^2} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{1+k^2/n^2}$。当 $k=n$ 时，项为 $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$；实际上，对于固定的 $n$，当 $k \leq n$ 时，$\frac{1}{1+k^2/n^2} \geq \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$，因此 $f(x_n) \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} = \frac{n}{2} \to +\infty$。故 $f(x)$ 在 $D$ 上无界。
公式：f\left(\frac{1}{n}\right) \geq \frac{n}{2}
提示：注意 $x_n$ 依赖于 $n$，且 $f(x_n)$ 发散到无穷。
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