中册 6.3 函数项级数 第22题

解题过程： （1）对 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $$ \left|\frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{2} \sqrt[3]{n}},\left|\left(\frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}\right)^{\prime}\right|=\left|\frac{\cos n x}{n \sqrt[3]{n}}\right| \leqslant \frac{1}{n \sqrt[3]{n}}, $$ 而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt[3]{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n}}$ 收玫，由 M 判别法得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}, \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}\right)^{\prime}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内一致收玫。 每个 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}, u_{n}^{\prime}(x)=\frac{\cos n x}{n \sqrt[3]{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，所以函数项级数 $f(x)$ 连续且有连续的导函数． （2－5）用与（1）类似的方法可证明． （6）由于 $\displaystyle \forall x \in[0,1],\left|\frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x)\right| \leqslant \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n)$ ．由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n)=0$ 知，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n)$ 收敛．由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x)\right)^{\prime}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{2} \sqrt{n}(1+n x)}$ ．由于 $\displaystyle \left|\frac{n}{n^{2} \sqrt{n}(1+n x)}\right| \leqslant\left|\frac{1}{n \sqrt{n}}\right|$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ 收玫 由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x)\right)^{\prime}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。 又 $\displaystyle \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x),\left(\frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x)\right)^{\prime}$ 在 $[0,1]$ 上均连续，故 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续性且有连续的导函数．