中册 6.3 函数项级数 第23题

解题过程： （1）$\forall x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\displaystyle \frac{|\sin n x|}{n^{2}} \leqslant \frac{1}{n^{2}}$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫，由 M 判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛． $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n x}{n^{2}}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n}$ ．在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上有 $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right|=\frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\left|\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \frac{1}{2} x\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|} \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{\pi}{6}\right|}=2 . $$ 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \cos n x$ 的部分和函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 一致有界，而 $\displaystyle \left\{\frac{1}{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 一致收玫于 0 ．由 Dirichlet 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 一致收敛。 又对每个 $\displaystyle n, \frac{\cos n x}{n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，故 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续且有连续的导函数． （2）由于 $\displaystyle \forall x \in(0,2 \pi),\left|\frac{\sin n x}{n^{2}+1}\right| \leqslant \frac{1}{n^{2}+1}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 收玫。由 M 判别法，得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上。一致收敛．又对每个 $\displaystyle n, \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 内连续，所以 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上连续． 对 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\sin n x}{n^{2}+1}\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \cos n x}{n^{2}+1}$ 及任意的 $0<\delta<\pi$ ，在 $[\delta, 2 \pi-\delta]$ 上有 $$ \left|\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right|=\frac{1}{2\left|\sin \frac{x}{2}\right|}\left|\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \frac{x}{2}\right|=\leqslant \frac{1}{\sin \frac{\delta}{2}} $$ 又 $\displaystyle \left\{\frac{n}{n^{2}+1}\right\}$ 单调趋于零，由 Dirichlet 判别法知，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $[\delta, 2 \pi-\delta]$ 上一致收敛，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上内闭一致收敛．因此 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n \cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上连续．故 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $(0,2 \pi)$ 上有连续的导函数． （3）与（2）类似． （4）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\sin n x}{n^{x}}$ ，取 $\displaystyle x=\frac{1}{n}$ ，则 $\displaystyle u_{n}\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{\sin 1}{\sqrt[n]{n}} \rightarrow \sin 1(n \rightarrow \infty)$ ，故函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内非一致收敛。 对 $\forall x_{0} \in(0,+\infty)$ 。当 $x_{0}>1$ 时，存在 $\delta>0$ 使 $x_{0}>1+\delta$ 。在 $[1+\delta,+\infty)$ 内，$\displaystyle \left|\frac{\sin n x}{n^{x}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{1+\delta}}$ ．由级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\delta}}$ 收敛，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $[1+\delta,+\infty)$ 内一致收玫。显然每个函数 $\displaystyle \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 连续。从而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $[1+\delta,+\infty)$ 内连续，当然在 $x_{0}$ 也连续． 当 $00$ 使 $\displaystyle x_{0} \in[\delta, 1], \frac{\sin n x}{n^{x}}=\frac{\sin n x}{n^{\delta}} \cdot \frac{1}{n^{x-\delta}}$ ．由狄利克雷判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{\delta}}$ 在 $[\delta, 1]$ 上一致收敛． 对任意 $\displaystyle n, \frac{1}{n^{x-\delta}} \leqslant 1$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{n^{x-\delta}}$ 在 $[\delta, 1]$ 上一致有界，对 $\displaystyle x \in[\delta, 1],\left\{\frac{1}{n^{x-\delta}}\right\}$ 单调． 由阿贝尔判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $[\delta, 1]$ 一致收敛。于是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $[\delta, 1]$ 连续，当然在 $x_{0}$ 也连续．由 $x_{0}$ 的任意性，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $(0,1]$ 内连续． 综上，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续． （5）因为对 $\displaystyle \forall x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right],\left|\frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛，由 M 判别法，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛。 又 $\displaystyle \forall n, \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，故 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续．由 $\tan x=\cot x-2 \cot 2 x$ 有，$\displaystyle \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}} \cot \frac{x}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{x}{2^{n-1}}$ 。于是 $$ \begin{gathered} f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}} \cot \frac{x}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{x}{2^{n-1}}\right)=\frac{1}{x}-\cot x \\ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right) \mathrm{d} x=\left.(\ln x-\ln |\sin x|)\right|_{\frac{\pi}{6}} ^{\frac{\pi}{2}}=\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2} \end{gathered} $$ 又由 $\displaystyle \arctan \frac{1}{2 k^{2}}=\arctan (2 k+1)-\arctan (2 k-1)$ 有 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}(\arctan (2 k+1)-\arctan (2 k-1))=\lim _{n \rightarrow \infty}(\arctan (2 n+1)-\arctan 1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} . $$