中册 6.3 函数项级数 第24题

\section*{解题过程：} （1）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|\frac{\sin n x}{2^{n}}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛，由 M 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。 又每个 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\sin n x}{2^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，从而 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续。于是 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 可积且 $$ \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \int_{0}^{\pi} \sin n x \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^{n}}{n \cdot 2^{n}}=2 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 k-1} \frac{1}{2^{2 k-1}} . $$ 由幂级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2 k-1}}{2 k-1}=\ln \frac{1+x}{1-x}$ 知 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 3$ ． （2）由于 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty),\left|\frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛。由 M 判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．又每个函数 $\displaystyle \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，从而 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． 由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}\right)^{\prime}=\pi \sum_{n=1}^{\infty} \cos \left(2^{n} \pi x\right)$ ，且对 $\forall x \in(-\infty,+\infty), \lim _{n \rightarrow \infty} \cos \left(2^{n} \pi x\right)$ 不存在，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \cos \left(2^{n} \pi x\right)$ 发散，故函数项级数逐项求导后点点不收玫。