中册 6.3 函数项级数 第25题

\section*{解题过程：} （1）因为 $\displaystyle \forall x \in(0,1),\left|\frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛，由 M 判别法知，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $(0,1)$ 一致收敛。 设 $x_{0} \neq x_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $(0,1)$ 内任意一点，通项 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $x_{0}$ 连续，应用和函数连续性定理知 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 连续． 设 $x_{k} \in\left\{x_{n}\right\}$ 中任意一点，因 $\displaystyle f(x)=\sum_{n \neq k} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}+\frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{k}\right)}{2^{k}}$ ，右边第一项在 $x=x_{k}$ 处连续，第二项在 $x=x_{k}$ 处间断，因此 $f(x)$ 在 $x=x_{k}$ 处间断 $(k=1,2, \cdots)$ ． （2）与（1）类同可得：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $x=r_{k}$ 处间断，在 $x \neq r_{n}$ 连续，$k=1,2, \cdots$ ． （3）与（1）类同可得：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 在 $x=n$ 处间断，在 $x \neq n$ 连续，$n=1,2, \cdots$ ． （4）因为 $\displaystyle \forall x \in(0,1),\left|2^{-n} \sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$ 收敛，由 M 判别法知，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ 在 $(0,1)$ 一致收敛．又 $\displaystyle 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ 在 $(0,1)$ 上连续，所以函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 连续． 记 $\displaystyle u_{n}(x)=2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ，则 $u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x \neq \frac{1}{n}$ 可导，在 $\displaystyle x=\frac{1}{n}$ 不可导，即在 $\displaystyle (0,1)-\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\right\}$可导。 记 $\displaystyle D=(0,1)-\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\right\}$ ，对 $\forall x_{0} \in D, \exists \delta>0$ ，使 $U\left(x_{0}, \delta\right) \subset D$ ，且 $\displaystyle \sin \left(x-\frac{1}{n}\right)$ 保号。于是 $$ \left|u_{n}^{\prime}(x)\right|=2^{-n}\left|\cos \left(x-\frac{1}{n}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}, n \geqslant 2, x \in U\left(x_{0}, \delta\right), $$ 故 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)$ 在 $U\left(x_{0}, \delta\right)$ 一致收玫，于是函数 $f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k} \neq \frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处可微． 对 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，因 $\displaystyle f(x)=\sum_{n \neq k} \frac{1}{2^{n}}\left|\sin \left(x-\frac{1}{k}\right)\right|+\frac{1}{2^{k}}\left|\sin \left(x-\frac{1}{k}\right)\right|$ ，右边第一项在 $x=x_{k}$ 处可导，第二项在 $x=x_{k}$ 处不可导，因此 $f(x)$ 在 $x=x_{k}$ 处不可导 $(k=1,2, \cdots)$ ． （5）由 $\displaystyle \left|\frac{f_{n}(x)}{2^{n}}\right| \leqslant \frac{M}{2^{n}}$ 知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $(a, b)$ 上一致收敛。 $f_{n}(x)$ 在 $(a, b)-\left\{a_{n}\right\}$ 上连续，所以 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $(a, b)-\left\{a_{n}\right\}$ 上连续．又对任意固定的 $a_{k}$ ， $f_{k}(x)$ 在 $x=a_{k}$ 处间断，$\displaystyle \sum_{n=1}^{k-1} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}+\sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $x=a_{k}$ 处连续．于是 $\displaystyle h(x)=f_{k}(x)+\sum_{n=1}^{k-1} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}+\sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$在 $x=a_{k}$ 处间断．故函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $(a, b)$ 内的间断点集为 $\left\{a_{n}\right\}$ ．