中册 6.3 函数项级数 第26题
📝 题目
26．证明或求解下列各题．
（1）设 $c_{n}(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上非负连续，$\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛于 $f(x), f(1)=1$ ．证明：$\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收玫，并求 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 。
（2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n}{2} \pi x, x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S(1)$ ，并求 $S(1)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\left|c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)\right| \leqslant c_{n}(x), \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛．
又级数各项在 $[-1,1]$ 连续，由级数的逐项取极限定理得
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{\prime}} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(1) \cos (2 n \pi)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(1)=f(1)=1
$$
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n \pi x}{2}$ ，则 $u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{3}{2}\right)$ 上连续，且 $\displaystyle \left|u_{n}(x)\right| \leqslant\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ ．由于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}$ 收玫，由 M 判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n}{2} \pi x$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{3}{2}\right)$ 一致收敛。于是 $S(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{3}{2}\right)$ 上连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S(1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \sin \frac{n \pi}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2 n-1}}(-1)^{n-1}=\frac{2}{5}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明级数一致收敛
由于 $c_n(x) \geq 0$ 且 $\sum_{n=1}^\infty c_n(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛于 $f(x)$，又 $|\cos(2n\pi x)| \leq 1$，所以 $|c_n(x)\cos(2n\pi x)| \leq c_n(x)$。由Weierstrass M判别法，$\sum_{n=1}^\infty c_n(x)\cos(2n\pi x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。
公式：|c_n(x)\cos(2n\pi x)| \leq c_n(x)
提示：注意比较判别法要求非负项，这里$c_n(x)\cos(2n\pi x)$不一定非负，但绝对值后可用比较法。
步骤 2/6
目标：利用逐项取极限求极限
由于级数一致收敛且各项连续，可逐项取极限：
$$\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=1}^\infty c_n(x)\cos(2n\pi x)=\sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to 1^-} c_n(x)\cos(2n\pi x)=\sum_{n=1}^\infty c_n(1)\cos(2n\pi).$$
公式：\lim_{x\to 1^-}\sum_{n=1}^\infty c_n(x)\cos(2n\pi x)=\sum_{n=1}^\infty c_n(1)\cos(2n\pi)
提示：注意$x\to 1^-$时，$\cos(2n\pi x)\to \cos(2n\pi)=1$，但需确认$c_n(x)$连续。
步骤 3/6
目标：计算极限值
由于 $\cos(2n\pi)=1$，且 $\sum_{n=1}^\infty c_n(1)=f(1)=1$，所以极限为1。
公式：\sum_{n=1}^\infty c_n(1)=f(1)=1
提示：注意$f(1)=1$是已知条件。
步骤 4/6
目标：估计第二问级数通项
设 $u_n(x)=\frac{x^n}{2^n}\sin\frac{n\pi x}{2}$，当 $x\in(0,\frac{3}{2})$ 时，$|u_n(x)|\leq \left(\frac{3}{4}\right)^n$，因为 $|x|\leq \frac{3}{2}$，$|\sin|\leq 1$。
公式：|u_n(x)|\leq \left(\frac{3}{4}\right)^n
提示：注意$x$可能为负？但区间$(0,\frac{3}{2})$，$x>0$，所以$|x|^n=x^n$。
步骤 5/6
目标：证明一致收敛并求极限
由于 $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n$ 收敛，由Weierstrass M判别法知 $\sum u_n(x)$ 在 $(0,\frac{3}{2})$ 上一致收敛，故 $S(x)$ 连续，从而 $\lim_{x\to 1}S(x)=S(1)$。
公式：\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n \text{ 收敛}
提示：一致收敛是保证连续性的关键。
步骤 6/6
目标：计算S(1)
$$S(1)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\sin\frac{n\pi}{2}.$$ 当 $n$ 为偶数时，$\sin\frac{n\pi}{2}=0$；当 $n=2k-1$ 时，$\sin\frac{(2k-1)\pi}{2}=(-1)^{k-1}$。所以 $$S(1)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^{2k-1}}(-1)^{k-1}=2\sum_{k=1}^\infty \left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1}=2\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}.$$
公式：\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k-1}}=\frac{2}{5}
提示：注意等比数列求和时首项和公比，以及符号处理。
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