中册 6.3 函数项级数 第27题
📝 题目
27．设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x, x \in[0,2 \pi]$ ，证明：
（1）$f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$f^{\prime}(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $u_{n}(x)=n \mathrm{e}^{-n} \cos n x$ ，则 $u_{n}^{\prime}(x)=-n^{2} \mathrm{e}^{-n} \sin n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上连续．
由于 $\left|u_{n}(x)\right| \leqslant n \mathrm{e}^{-n}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n}$ 收敛，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收敛。于是 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x$ 在 $[0,2 \pi]$ 上连续．
又由 $\left|u_{n}^{\prime}(x)\right| \leqslant \dot{n}^{2} \mathrm{e}^{-n}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n}$ 收玫，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上一致收玫。由此得 $f^{\prime}(x)$在 $[0,2 \pi]$ 上存在且连续，$f^{\prime}(x)=-\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n} \sin n x$ ．
因为 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n}=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}},|f(0)|=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n}=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}}$ ，所以 $\displaystyle \max _{x \in[0,2 \pi]}|f(x)|=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数项级数并估计通项
令 $u_n(x) = n e^{-n} \cos nx$，则 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$。由于 $|u_n(x)| \leq n e^{-n}$，且 $\sum_{n=1}^\infty n e^{-n}$ 收敛（比值判别法），故由 Weierstrass 判别法，级数在 $[0,2\pi]$ 上一致收敛。
公式：$|u_n(x)| \leq n e^{-n}$
提示：注意 $\cos nx$ 的有界性，$|\cos nx| \leq 1$。
步骤 2/6
目标：证明 $f(x)$ 连续
由于 $\sum u_n(x)$ 一致收敛，且每一项 $u_n(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续，故和函数 $f(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续。
提示：一致收敛的和函数保持连续性。
步骤 3/6
目标：考虑逐项求导的级数
计算 $u_n'(x) = -n^2 e^{-n} \sin nx$。估计 $|u_n'(x)| \leq n^2 e^{-n}$，且 $\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n}$ 收敛（比值判别法），故 $\sum u_n'(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上一致收敛。
公式：$|u_n'(x)| \leq n^2 e^{-n}$
提示：注意 $\sin nx$ 的有界性，$|\sin nx| \leq 1$。
步骤 4/6
目标：证明 $f'(x)$ 存在且连续
由于 $\sum u_n(x)$ 在 $[0,2\pi]$ 上收敛于 $f(x)$，$\sum u_n'(x)$ 一致收敛，且 $u_n'(x)$ 连续，故 $f(x)$ 可导且 $f'(x) = \sum u_n'(x) = -\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n} \sin nx$，且 $f'(x)$ 连续。
公式：$f'(x) = -\sum_{n=1}^\infty n^2 e^{-n} \sin nx$
提示：逐项求导定理的条件：原级数收敛，导函数级数一致收敛。
步骤 5/6
目标：求 $f(x)$ 的最大值
由于 $|f(x)| \leq \sum_{n=1}^\infty n e^{-n}$，且 $f(0) = \sum_{n=1}^\infty n e^{-n}$，故最大值在 $x=0$ 处取得。计算 $\sum_{n=1}^\infty n e^{-n} = \frac{e}{(e-1)^2}$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty n e^{-n} = \frac{e}{(e-1)^2}$
提示：利用几何级数求和公式：$\sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}$，其中 $r = e^{-1}$。
步骤 6/6
目标：证明不等式
需证 $\frac{e}{(e-1)^2} \geq \frac{2}{e}$。等价于 $e^2 \geq 2(e-1)^2$，即 $e^2 \geq 2(e^2 - 2e + 1)$，整理得 $e^2 - 4e + 2 \leq 0$。由于 $e \approx 2.718$，计算 $e^2 - 4e + 2 \approx 7.389 - 10.872 + 2 = -1.483 < 0$，故不等式成立。
公式：$\frac{e}{(e-1)^2} \geq \frac{2}{e}$
提示：注意不等式的方向，可通过代数变形或数值验证。
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