中册 6.3 函数项级数 第28题
📝 题目
28．证明或求解下列各题．
（1）证明：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$(a \neq 0)$ ，证明：（1）$\forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，并且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $f(x)$ 的连续范围及可导范用．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $x \geqslant 0$ 时一致收敛。
又对 $n$ ，当 $x \geqslant 0$ 时， $0<\mathrm{e}^{-n x} \leqslant 1$ ，即 $\left\{\mathrm{e}^{-n x}\right\}$ 关于 $n$ 一致有界．又 $\left\{\mathrm{e}^{-n x}\right\}$ 对每一个 $x \geqslant 0$ 是单调递减的。由阿贝尔判别法知，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛。
（2）因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，所以 $\exists M>0$ 使得 $\left|a_{n}\right| \leqslant M(n=1,2, \cdots)$ ．
在 $(\delta,+\infty)$ 上，$\left|a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right| \leqslant M \mathrm{e}^{-n x} \leqslant M \mathrm{e}^{-n \delta}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n \delta}$ 收敛，由 M 判别法知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛．
由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left(\left|a_{n}\right| \mathrm{e}^{-n x}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a| \neq 0$ ，所以 $\left\{a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right\}$ 在（0，＋l）内不一致收敛于 0 ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内不一致收敛。
对 $\forall x_{0} \in(0,+\infty)$ ，取 $\displaystyle \delta=\frac{x_{0}}{2}$ ，则 $\delta>0$ 且 $x_{0} \in(\delta,+\infty)$ ．因为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛，且每一项 $a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 都在 $[\delta,+\infty)$ 上连续，所以和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上连续．特别地，函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $x_{0}$ 处连续，由 $x_{0} \in(0,+\infty)$ 的任意性知，函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内连续．
（3）由数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $\left|a_{n}\right| \leqslant M$ 。于是 $\left|a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right| \leqslant M \mathrm{e}^{-n x}$ ，故 $\forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$收敛。
对于任何 $\delta>0$ ，在 $[\delta,+\infty)$ 上，$\left|a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right| \leqslant M \mathrm{e}^{-n x} \leqslant M \mathrm{e}^{-n \delta}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n \delta}$ 收玫，由 M 判别法知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。
因为 $\left\{a_{n}\right\}$ 不收敛，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left|a_{n} \mathrm{e}^{-n x}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in(0,+\infty)}\left(\left|a_{n}\right| \mathrm{e}^{-n x}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|$ 可能不收敛，即使收敛也不会收敛于 0 ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 内不一致收敛。
（4）由于当 $x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}} \leqslant \frac{1}{1+n^{2}}<\frac{1}{n^{2}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，由 M 判别法知，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ 在 $[0,+\infty)$上一致收敛．又级数的每一项 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ 都在 $[0,+\infty)$ 连续，因此 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ 在 $[0,+\infty)$ 连续．
对 $\forall x_{0} \in(0,+\infty), \exists \delta>0$ 满足 $0<\delta0,\left|(-1)^{n} \mathrm{e}^{-n x}\right| \leqslant \mathrm{e}^{-n \delta}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n \delta}$ 收敛．因此 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}\right]^{\prime}$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛，从而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 可导。所以 $f(x)$ 可导的范围为 （ $0,+\infty$ ）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明级数在[0,+∞)上一致收敛
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则部分和函数列 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n a_k$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致有界（因为常数项级数收敛，其部分和数列收敛，从而有界）。又对每个固定的 $x\ge 0$，函数列 $\{e^{-nx}\}$ 关于 $n$ 单调递减，且 $0
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n(x)\}$ 单调且一致有界，则 $\sum a_n b_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意阿贝尔判别法的条件：$\sum a_n$ 收敛，$\{b_n(x)\}$ 单调且一致有界。
步骤 2/8
目标：证明级数在(δ,+∞)上一致收敛
由 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ 知 $\{a_n\}$ 有界，存在 $M>0$ 使得 $|a_n|\le M$。对任意 $\delta>0$，当 $x\ge \delta$ 时，$|a_n e^{-nx}| \le M e^{-n\delta}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\delta}$ 是公比为 $e^{-\delta}<1$ 的几何级数，收敛。由 Weierstrass M 判别法，$\sum a_n e^{-nx}$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M 判别法：若 $|u_n(x)|\le M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意 $\delta>0$ 是任意固定的，但 $\delta$ 不能取0，因为 $e^{-n\cdot0}=1$ 不收敛。
步骤 3/8
目标：证明级数在(0,+∞)上不一致收敛
考虑通项 $u_n(x)=a_n e^{-nx}$。由于 $\lim_{n\to\infty} a_n = a \neq 0$，则 $\lim_{n\to\infty} \sup_{x>0} |u_n(x)| = \lim_{n\to\infty} |a_n| = |a| \neq 0$。因此通项在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛于0，由一致收敛的必要条件知级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：一致收敛的必要条件：若 $\sum u_n(x)$ 一致收敛，则 $u_n(x)\rightrightarrows 0$。
提示：注意 $\sup_{x>0} |a_n e^{-nx}| = |a_n|$，因为 $e^{-nx}$ 在 $x=0$ 处取最大值1，但 $x=0$ 不在区间内，但上确界仍为 $|a_n|$。
步骤 4/8
目标：证明和函数在(0,+∞)上连续
对任意 $x_0>0$，取 $\delta = x_0/2 >0$，则 $x_0 \in (\delta,+\infty)$。由第(2)问第一部分，级数在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛，且每项 $a_n e^{-nx}$ 连续，故和函数 $f(x)$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上连续，从而在 $x_0$ 连续。由 $x_0$ 任意性，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：注意 $x_0$ 是任意正数，但需要构造一个闭区间包含 $x_0$ 且级数在该闭区间上一致收敛。
步骤 5/8
目标：证明级数在[0,+∞)上一致收敛（第(4)问）
当 $x\ge 0$ 时，$\left|\frac{e^{-nx}}{1+n^2}\right| \le \frac{1}{1+n^2} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。由 Weierstrass M 判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-nx}}{1+n^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Weierstrass M 判别法
提示：注意 $\frac{1}{1+n^2}$ 是常数，与 $x$ 无关，因此可作优级数。
步骤 6/8
目标：证明f(x)在[0,+∞)连续
级数在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛，且每项 $\frac{e^{-nx}}{1+n^2}$ 连续，故和函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：注意区间包含端点0，但级数在0处收敛，因为 $\sum \frac{1}{1+n^2}$ 收敛。
步骤 7/8
目标：证明f'(x)在(0,+∞)连续
对任意 $x_0>0$，取 $\delta$ 满足 $0<\delta
公式：逐项求导定理：若 $\sum u_n(x)$ 收敛，$\sum u_n'(x)$ 一致收敛，则和函数可导且导数等于逐项求导的和。
提示：注意需要验证导函数级数的一致收敛性，这里用比值判别法判断优级数的收敛性。
步骤 8/8
目标：求f(x)的连续范围和可导范围（第(5)问）
当 $x\ge 0$ 时，$\{e^{-nx}\}$ 关于 $n$ 单调递减且一致有界（$00$，逐项求导得 $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-nx}$。对任意 $\delta>0$，当 $x\ge \delta$ 时，$|(-1)^n e^{-nx}|\le e^{-n\delta}$，而 $\sum e^{-n\delta}$ 收敛，故导函数级数在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛，从而 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导。因此可导范围为 $(0,+\infty)$。
公式：阿贝尔判别法；逐项求导定理
提示：注意 $x=0$ 处级数收敛但不可导，因为导函数级数在0处发散（$\sum (-1)^n$ 发散）。
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