中册 6.3 函数项级数 第32题

解题过程： （1）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\left(\frac{1}{n}+x\right)^{n}$ ．当 $x=0$ 时，$\displaystyle u_{n}(0)=\frac{1}{n^{n}}, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(0)=0$ ． 当 $|x|<1$ 且 $x \neq 0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+x\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} x^{n} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x n}+1\right)^{n}=0$ ．函数列 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 的极限函数 $u(x)=0$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_{n}(x)\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{1}{n}+x\right|=|x|$ ，由根值判别法，当 $|x|<1$ 时，级数绝对收敛；当 $|x|>1$ 时，级数发散；当 $|x|=1$ 时，因通项不收敛于 0 ，故级数发散．所以级数的收敛域为 $D=\{x:|x|<1\}$ ． 由于 $\displaystyle \sup _{x \in(1,1)}\left|u_{n}(x)-u(x)\right|=\sup _{x \in 1-1,1)}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}$ ，因此 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $(-1,1)$ 上不一致收敛于 0 ，从而函 数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $D$ 上不一致收敛。 对 $\forall x_{0} \in(-1,1), \exists \delta>0$ 使 $x_{0} \in[-\delta, \delta] \subset(-1,1)$ 。在 $[-\delta, \delta]$ 上，$\displaystyle \left|u_{n}(x)\right|=\left|\left(\frac{1}{n}+x\right)^{n}\right| \leqslant\left(\frac{1}{n}+\delta\right)^{n}$ 。由级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\delta\right)^{n}$ 收玫得函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $[-\delta, \delta]$ 上一致收玫． 又每个 $u_{n}(x)$ 在 $[-\delta, \delta]$ 上连续，从而 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[-\delta, \delta]$ 上连续，故 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 上连续．由 $\forall x_{0} \in(-1,1)$ 得 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上连续． （2）记 $\displaystyle u_{n}(x)=n\left(\frac{1}{n}+x\right)^{n}$ ．当 $x=0$ 时，$\displaystyle u_{n}(0)=\frac{1}{n^{n-1}}, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(0)=0$ ． 当 $|x|<1$ 且 $x \neq 0$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n}+x\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} n x^{n} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x n}+1\right)^{n}=0$ ．函数列 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 的极限函数 $u(x)=0$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|u_{n}(x)\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}\left|\frac{1}{n}+x\right|=|x|$ ，由根值判别法得，当 $|x|<1$ 时，级数绝对收玫；当 $|x|>1$时，级数发散；当 $|x|=1$ 时，因通项不收玫于 0 ，故级数发散．所以级数的收玫域为 $D=\{x \| x \mid<1\}$ ． 由于 $\displaystyle \sup _{x \in(-1,1)}\left|u_{n}(x)-u(x)\right|=\sup _{x \in(-1,1)} n\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}=\infty$ ，因此 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $(-1,1)$ 上不一致收敛，从而函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $D$ 上不一致收敛。 （3）当 $x>1$ 时，$\displaystyle \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{x^{n}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{x^{n}}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 在 $x>1$ 时收敛． 当 $0 \leqslant x<1$ 时，由于 $\displaystyle \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}>\frac{n^{2}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \rightarrow+\infty(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 在 $0 \leqslant x<1$ 时发散． 对 $x>1$ ，存在 $x>c>1$ 使 $\displaystyle \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{x^{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{c^{n}}$ ．因 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{c^{n}}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 在 $x>1$ 时内闭一致收敛。 在 $(1,+\infty)$ 内取 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{n}$ ，则 $\displaystyle \frac{n^{2}}{\left(x_{n}+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{n^{2}}{\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}} \longrightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 在 $(1,+\infty)$ 内不一致收敛。 （4）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ ．要每个 $\displaystyle u_{n}(x)=\ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ 有意义需 $x>-1$ ． 当 $x>-1$ 且 $x \neq 0$ 时，由于 $\displaystyle \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right) \sim \frac{x}{n^{2}}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^{2}}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ 收敛。 当 $x=0$ 时， $\displaystyle \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)=0, \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ 收敛。 综上，$S(x)$ 的定义域 $D=\{x \mid x>-1\}$ ． $\displaystyle u_{n}^{\prime}(x)=\frac{1}{1+\frac{x}{n^{2}}} \frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}+x}$ ． 对 $\forall x_{0} \in D, \exists[a, b]$ 使 $x_{0} \in[a, b] \subset D$ ．记 $c=\max \{|a|,|b|\}$ 。 在 $[a, b]$ 上，$\displaystyle \left|u_{n}^{\prime}(x)\right|=\left|\frac{1}{n^{2}+x}\right| \leqslant \frac{1}{n^{2}-1}, n>1$ ．由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-1}$ 收玫得函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。 又每个 $u_{n}^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，从而 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，故 $S(x)$ 在 $x_{0}$ 上连续可导．由 $x_{0}$ 的任意性可知函数 $S(x)$ 在 $D$ 连续可导． （5）记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\ln (1+n x)}{n x^{n}}$ ．对任意 $a>0$ ，当 $x \geqslant 1+a$ 时， $\displaystyle 00$ 的任意性知 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续． $\displaystyle u_{n}(1)=\frac{\ln (1+n)}{n}>\frac{1}{n},(n>2)$ ，显然 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(1)$ 发散，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 内不一致收敛。