中册 6.3 函数项级数 第33题
📝 题目
33．证明下列各题．
（1）证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $[a, b](0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $u_{n}(x)=x^{n} \ln x, x>0$ ．
当 $00$ 使得 $\displaystyle \left|\frac{x \ln x}{1-x}\right| \leqslant M, x \in[0,1]$ 。故 $\left|R_{n}(x)\right| \leqslant M x^{n}$ 。从而
$$
\left|\int_{0}^{1} R_{n}(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{0}^{1}\left|R_{n}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant M \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{M}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} R_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．于是级数可以逐项积分．
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x & =\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{1-x} \ln x\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{1-x} \ln x\right) \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln (1-x) \mathrm{d} x+1 \\
& =-\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x+1=1-\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=1-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=1-\frac{\pi^{2}}{6}
\end{aligned}
$$
（2）记 $u_{n}(x)=x^{n}(\ln x)^{2}, x>0$ ．
当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定级数的和函数
记 $u_n(x)=x^n\ln x$，$x>0$。当 $0
公式：\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}, \quad |x|<1
提示：注意 $x=1$ 时级数每一项为0，和函数为0，但 $\frac{x}{1-x}\ln x$ 在 $x=1$ 处无定义，需单独定义。
步骤 2/6
目标：证明在闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛
对任意 $x\in[a,b]\subset(0,1)$，有 $|x^n\ln x| \le b^n |\ln a|$。由于 $0
公式：Weierstrass M-判别法
提示：注意 $\ln x$ 在 $[a,b]$ 上绝对值有最大值 $|\ln a|$，且 $b^n$ 控制 $x^n$。
步骤 3/6
目标：证明在 $(0,1]$ 上不一致收敛
和函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续（因为 $\lim_{x\to1^-} f(x) = -1$，而 $f(1)=0$），而每个 $u_n(x)$ 在 $(0,1]$ 上连续，若级数一致收敛则和函数必连续，矛盾。故级数在 $(0,1]$ 上不一致收敛。
公式：一致收敛级数的和函数连续性定理
提示：需验证 $\lim_{x\to1^-} f(x) \neq f(1)$，可用洛必达法则求极限。
步骤 4/6
目标：证明逐项积分并计算积分值
余和 $R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{\infty} x^k\ln x = \frac{x^{n+1}}{1-x}\ln x$。由于 $\frac{x\ln x}{1-x}$ 在 $(0,1)$ 连续且 $\lim_{x\to0^+}\frac{x\ln x}{1-x}=0$，$\lim_{x\to1^-}\frac{x\ln x}{1-x}=-1$，故存在 $M>0$ 使得 $\left|\frac{x\ln x}{1-x}\right|\le M$，从而 $|R_n(x)|\le M x^n$。于是 $\left|\int_0^1 R_n(x)dx\right|\le M\int_0^1 x^n dx = \frac{M}{n+1}\to0$，故可逐项积分。计算积分：$\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 \frac{x}{1-x}\ln x dx = \int_0^1 \frac{1}{1-x}\ln x dx - \int_0^1 \ln x dx$。利用 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ 和 $\int_0^1 x^n\ln x dx = -\frac{1}{(n+1)^2}$，得 $\int_0^1 \frac{1}{1-x}\ln x dx = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2} = -\frac{\pi^2}{6}$，而 $\int_0^1 \ln x dx = -1$，故原积分 $= -\frac{\pi^2}{6} + 1 = 1-\frac{\pi^2}{6}$。
公式：\int_0^1 x^n \ln x dx = -\frac{1}{(n+1)^2}, \quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
提示：注意 $\frac{1}{1-x}\ln x$ 在 $x=1$ 附近有可去奇点，积分收敛；逐项积分需验证余项积分趋于0。
步骤 5/6
目标：证明级数 $\sum x^n(\ln x)^2$ 在 $(0,1]$ 上一致收敛
记 $u_n(x)=x^n(\ln x)^2$，和函数 $f(x)=\frac{x}{1-x}(\ln x)^2$（$0
公式：若 $h(x)$ 在 $[0,1]$ 连续且 $h(1)=0$，则 $h(x)x^n\rightrightarrows0$
提示：需验证 $g(x)$ 在端点极限存在，从而可连续延拓；利用已知结论简化证明。
步骤 6/6
目标：讨论级数 $\sum \frac{x^n}{n\ln n}$ 在 $[0,1)$ 上的一致收敛性
该级数为幂级数，收敛半径 $R=1$。在 $x=1$ 处，级数 $\sum \frac{1}{n\ln n}$ 发散（由积分判别法）。由于每个 $u_n(x)=\frac{x^n}{n\ln n}$ 在 $[0,1]$ 连续，且级数在 $x=1$ 发散，根据已知结论：若 $\sum u_n(x)$ 在 $x=b$ 发散，则它在 $[a,b)$ 上不一致收敛。故原级数在 $[0,1)$ 上不一致收敛。
公式：积分判别法：$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ 发散
提示：注意 $x=1$ 是边界点，级数发散；利用反证法或已知结论判断不一致收敛。
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