中册 6.3 函数项级数 第34题

\section*{解题过程：} 记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n^{2} \ln (1+n)} x^{n}$ ，则 $u_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，$\displaystyle u_{n}^{\prime}(x)=\frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}$ ． （1）由于 $\displaystyle \forall x \in[-1,1], n \geqslant 2,\left|u_{n}(x)\right| \leqslant\left|\frac{1}{n^{2} \ln (1+n)}\right| \leqslant \frac{1}{n^{2}}$ ，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收敛。于是 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续． （2）因为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}$ 的收敛区间为 $(-1,1)$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}$ 在 $x=-1$ 收玫，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}$ 在 $[-1,0]$ 上一致收敛．于是 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上可导，且 $$ f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}, x \in[-1,0] $$ （3）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)} x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)}$ ，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)}$ 发散，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln (1+n)}=+\infty$ ，从而 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty$ ． （4）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}\left(\xi_{x}\right)=+\infty$ ，其中 $\xi_{x} \in(x, 1)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ 不存在，即 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导． 注：（3）的求解用到结论：＂设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，且 $a_{n} \geqslant 0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow R^{\prime}} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} R^{n}$.