中册 6.3 函数项级数 第36题
📝 题目
36．设 $a_{n}$ 满足 $\ln \ln n \leqslant a_{n} \leqslant \ln n, n=2,3, \cdots$ ．研究函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 的收玫性、一致收敛性以及和函数的连续性、可导性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \leqslant 0$ 时，由于 $\displaystyle \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 不趋于 0 ，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散．
当 $01$ 时，$\displaystyle \frac{a_{n}}{n^{x}} \leqslant \frac{\ln n}{n^{x}}$ ，当 $x>1$ 时，反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln y}{y^{x}} \mathrm{~d} y$ 收玫，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{x}}$ 收玫．于是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛。
综上，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 的收玫域为 $(1,+\infty)$ ．
由于函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 逐点收敛，且每一项都在 $x=1$ 处连续，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $x=1$ 处发散，故函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上非一致收敛。
由 M 判别法知，对任意 $\displaystyle 11$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{n^{x}}\right)^{\prime}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n} \ln n}{n^{x}},\left|\frac{a_{n} \ln n}{n^{x}}\right| \leqslant \frac{(\ln n)^{2}}{n^{x}}$ ．当 $x>1$ 时，反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{(\ln y)^{2}}{y^{x}} \mathrm{~d} y$ 收敛，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(\ln n)^{2}}{n^{x}}$ 收玫。于是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n} \ln n}{n^{x}}$ 收玫。
由 M 判别法知，对任意 $\displaystyle 10, \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(c, c+\delta)$ 均非一致收敛。＂
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定级数收敛域：x≤0时发散
当 $x \leq 0$ 时，$n^x \leq 1$，因此 $\frac{a_n}{n^x} \geq a_n \geq \ln\ln n$（对于 $n\geq 2$），而 $\ln\ln n \to +\infty$，故通项不趋于0，级数发散。
提示：注意 $a_n$ 有下界 $\ln\ln n$，当 $x\leq0$ 时通项趋于无穷大。
步骤 2/7
目标：确定级数收敛域：0
当 $0 < x \leq 1$ 时，$\frac{a_n}{n^x} \geq \frac{\ln\ln n}{n^x} \geq \frac{\ln\ln n}{n}$（因为 $n^x \leq n$）。而级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln\ln n}{n}$ 发散（比较判别法，与 $\frac{1}{n}$ 比较，$\ln\ln n$ 增长慢于任何幂次，但发散），故原级数发散。
公式：比较判别法：若 $b_n \leq a_n$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
提示：注意 $\frac{\ln\ln n}{n}$ 发散，因为 $\int_2^\infty \frac{\ln\ln y}{y} dy$ 发散。
步骤 3/7
目标：确定级数收敛域：x>1时收敛
当 $x > 1$ 时，$\frac{a_n}{n^x} \leq \frac{\ln n}{n^x}$。考虑积分 $\int_2^\infty \frac{\ln y}{y^x} dy$，当 $x>1$ 时收敛（可用分部积分或比较判别法），故级数 $\sum \frac{\ln n}{n^x}$ 收敛，由比较判别法知原级数收敛。因此收敛域为 $(1,+\infty)$。
公式：积分判别法：$\sum f(n)$ 与 $\int f(x)dx$ 同敛散。
提示：注意 $\ln n$ 增长慢于任何 $n^\epsilon$，所以 $\frac{\ln n}{n^x}$ 当 $x>1$ 时收敛。
步骤 4/7
目标：研究一致收敛性：在(1,+∞)上非一致收敛
由于每个 $u_n(x)=\frac{a_n}{n^x}$ 在 $x=1$ 处连续，但级数在 $x=1$ 处发散（由步骤2），根据命题：若每个 $u_n$ 在 $x=c$ 连续，但级数在 $x=c$ 发散，则对任意 $\delta>0$，级数在 $(c,c+\delta)$ 上非一致收敛。取 $c=1$，则级数在 $(1,+\infty)$ 上非一致收敛。
提示：注意非一致收敛的证明常用反证法或利用该命题。
步骤 5/7
目标：研究一致收敛性：内闭一致收敛
对任意 $11$，级数 $\sum \frac{\ln n}{n^a}$ 收敛，由M判别法知原级数在 $[a,A]$ 上一致收敛。因此级数在 $(1,+\infty)$ 上内闭一致收敛。
公式：Weierstrass M-判别法：若 $|u_n(x)|\leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意内闭一致收敛是指对任意闭区间 $[a,A]\subset(1,+\infty)$ 一致收敛。
步骤 6/7
目标：和函数的连续性
由内闭一致收敛性，每个 $u_n(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续，故和函数 $S(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。
公式：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：注意连续性是在开区间上逐点成立，但需要内闭一致收敛保证。
步骤 7/7
目标：和函数的可导性
逐项求导得 $\sum u_n'(x) = -\sum \frac{a_n \ln n}{n^x}$。由于 $|\frac{a_n \ln n}{n^x}| \leq \frac{(\ln n)^2}{n^x}$，当 $x>1$ 时，积分 $\int_2^\infty \frac{(\ln y)^2}{y^x} dy$ 收敛，故 $\sum \frac{(\ln n)^2}{n^x}$ 收敛。对任意 $[a,A]\subset(1,+\infty)$，$|\frac{a_n \ln n}{n^x}| \leq \frac{(\ln n)^2}{n^a}$，由M判别法知 $\sum u_n'(x)$ 在 $[a,A]$ 上一致收敛。因此和函数 $S(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上可导，且 $S'(x)=-\sum \frac{a_n \ln n}{n^x}$。
公式：函数项级数逐项求导定理：若 $\sum u_n(x)$ 收敛，$\sum u_n'(x)$ 一致收敛，则和函数可导且导数等于逐项求导和。
提示：注意需要验证 $\sum u_n'(x)$ 内闭一致收敛，这里用M判别法。
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