中册 6.3 函数项级数 第37题
📝 题目
37．若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\displaystyle \forall x \in[0,+\infty),\left|\frac{1}{n^{x}}\right| \leqslant 1$ ，且 $\displaystyle \frac{1}{(n+1)^{x}} \leqslant \frac{1}{n^{x}}$ ，所以 $\displaystyle \left\{\frac{1}{n^{x}}\right\}$ 单调一致有界．又 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收玫，从而 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$在 $x \in[0,+\infty)$ 上一致收敛．由阿贝尔判别法，$\displaystyle \sum \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上一致收敛．
显然，$\displaystyle \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上连续，由连续性定理知，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $x \in[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数项级数的结构
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$，其中 $x \in [0, +\infty)$。注意到 $\frac{1}{n^x}$ 是单调递减的正函数，且 $\left|\frac{1}{n^x}\right| \leq 1$ 对一切 $x \geq 0$ 成立。
提示：注意 $n^x$ 在 $x=0$ 时等于1，在 $x>0$ 时大于1，因此 $1/n^x \leq 1$。
步骤 2/6
目标：验证数列 $\{1/n^x\}$ 的一致有界性和单调性
对任意 $x \in [0, +\infty)$，有 $0 < \frac{1}{n^x} \leq 1$，所以 $\left\{\frac{1}{n^x}\right\}$ 一致有界。同时，$\frac{1}{(n+1)^x} \leq \frac{1}{n^x}$ 对每个固定的 $x$ 成立，即数列单调递减。
提示：一致有界是指存在常数 $M$ 使得对所有 $n$ 和 $x$ 有 $|1/n^x| \leq M$，这里 $M=1$。
步骤 3/6
目标：应用阿贝尔判别法证明一致收敛性
已知级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，因此部分和 $A_n = \sum_{k=0}^n a_k$ 有界。又 $\left\{\frac{1}{n^x}\right\}$ 对每个 $x$ 单调且一致有界，由阿贝尔判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot \frac{1}{n^x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛。注意这里 $a_n$ 从 $n=1$ 开始，但 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛不影响。
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum b_n$ 收敛，$\{a_n\}$ 单调有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：阿贝尔判别法要求 $\{a_n\}$ 对每个 $x$ 单调，这里 $a_n = 1/n^x$ 是单调递减的。
步骤 4/6
目标：说明每一项的连续性
对每个固定的 $n$，函数 $\frac{a_n}{n^x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，因为指数函数 $n^x$ 连续且不为零。
提示：注意 $n^x = e^{x \ln n}$ 是连续函数。
步骤 5/6
目标：利用一致收敛性得到和函数的连续性
由于函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛，且每一项连续，根据连续性定理，和函数 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续。
公式：连续性定理：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
提示：一致收敛是保证和函数连续的关键条件。
步骤 6/6
目标：讨论端点 $x=0$ 处的连续性
在 $x=0$ 处，$f(0) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$，由于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，该级数收敛。由连续性，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$。
提示：注意 $x=0$ 时 $n^x = 1$，级数退化为 $\sum a_n$。
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