中册 6.3 函数项级数 第38题
📝 题目
38．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\displaystyle \left\{\sin \frac{1}{n}\right\}$ 单调递减趋于 0 ，由莱布尼兹判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ 收玫，从而在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
又当 $n \geqslant 3$ 时，$\displaystyle \forall x \in(0,+\infty),\left|\frac{1}{(\ln n)^{x}}\right| \leqslant 1$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 一致有界。由阿贝尔判别法，$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
因此， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明级数(1)收敛
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$。由于 $\sin \frac{1}{n}$ 在 $n\geq 1$ 时单调递减且趋于0（因为 $\frac{1}{n}$ 递减且 $\sin x$ 在 $[0,1]$ 上递增），由莱布尼茨判别法，该交错级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减趋于0，则 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛。
提示：注意验证 $\sin \frac{1}{n}$ 的单调性：$\sin \frac{1}{n}$ 随 $n$ 增大而减小，且趋于0。
步骤 2/6
目标：分析函数项级数(2)的结构
考虑函数项级数 $\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$，其中 $x \in (0,+\infty)$。令 $a_n = (-1)^n \sin \frac{1}{n}$，$b_n(x) = \frac{1}{(\ln n)^x}$。则原级数为 $\sum a_n b_n(x)$。
提示：注意级数从 $n=3$ 开始，因为 $\ln n$ 在 $n=1,2$ 时无定义或为0。
步骤 3/6
目标：验证 $\sum a_n$ 一致收敛
由(1)知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且 $a_n$ 与 $x$ 无关，故 $\sum_{n=3}^{\infty} a_n$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛（因为收敛级数可视为一致收敛于常数函数）。
公式：若级数收敛，则其部分和函数列一致收敛（常数函数）。
提示：注意：这里的一致收敛是相对于 $x$ 而言，由于 $a_n$ 不含 $x$，所以收敛性一致。
步骤 4/6
目标：验证 $b_n(x)$ 一致有界且单调
对于任意 $x>0$，$b_n(x) = \frac{1}{(\ln n)^x}$ 关于 $n$ 单调递减（因为 $\ln n$ 递增且 $x>0$），且 $0 < b_n(x) \leq \frac{1}{(\ln 3)^x} \leq 1$（因为 $\ln 3 > 1$，所以 $\frac{1}{(\ln 3)^x} \leq 1$）。因此 $b_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致有界（界为1）且对每个固定的 $x$ 单调递减。
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum a_n$ 一致收敛，$b_n(x)$ 一致有界且对每个 $x$ 单调，则 $\sum a_n b_n(x)$ 一致收敛。
提示：注意：$b_n(x)$ 的单调性是对 $n$ 而言，且需要验证一致有界性，即存在 $M$ 使得对所有 $n,x$ 有 $|b_n(x)|\leq M$。
步骤 5/6
目标：应用阿贝尔判别法证明(2)一致收敛
由步骤3知 $\sum a_n$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛，由步骤4知 $b_n(x)$ 一致有界且对每个 $x$ 单调，根据阿贝尔判别法，$\sum a_n b_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛。
提示：阿贝尔判别法的条件要同时满足：$\sum a_n$ 一致收敛，$b_n(x)$ 一致有界且单调。
步骤 6/6
目标：证明极限与求和可交换（(3)）
由(2)知 $\sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛，且对每个 $n$，$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{(\ln n)^x} = 1$（因为 $a^x \to 1$ 当 $x\to 0$）。根据一致收敛级数的逐项取极限定理，有
$$
\lim_{x\to 0^+} \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^x} = \sum_{n=3}^{\infty} \lim_{x\to 0^+} (-1)^n \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^x} = \sum_{n=3}^{\infty} (-1)^n \sin \frac{1}{n}.
$$
公式：一致收敛级数的逐项取极限定理：若 $\sum f_n(x)$ 在区间上一致收敛，且每个 $f_n$ 在 $x_0$ 处有极限，则极限与求和可交换。
提示：注意：需要验证每个 $f_n(x)$ 在 $x\to 0^+$ 时极限存在，且一致收敛性保证交换合法性。
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