中册 6.3 函数项级数 第41题

\section*{解题过程：} （1）方法1（用 Cauchy 收敛准则）。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $x=a$ 与 $x=b$ 收敛，由 Cauchy 收玫准则，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall m>n>N$ ，有 $\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(a)\right|<\varepsilon,\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(b)\right|<\varepsilon$ 。 再由 $u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上的单调增加性，对一切 $x \in[a, b]$ 有， $$ \left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(x)\right| \leqslant \max \left\{\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(a)\right|,\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(b)\right|\right\}<\varepsilon . $$ 此说明 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。 方法2（由 M 判别法）．因 $u_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 是 $[a, b]$ 上的单调函数，所以 $\forall x \in[a, b]$ ， $$ \left|u_{n}(x)\right| \leqslant\left|u_{n}(a)\right|+\left|u_{n}(b)\right|, n=1,2, \cdots . $$ 由 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}(a)\right|$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}(b)\right|$ 收敛知，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|u_{n}(a)\right|+\left|u_{n}(b)\right|\right)$ 收敛。由 M 判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上绝对并一致收敛。 （2）不妨设 $u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 单调增，所以 $u_{n}(a) \leqslant u_{n}(x) \leqslant u_{n}(b), x \in[a, b]$ ．于是 $$ 0 \leqslant u_{n}(x)-u_{n}(a) \leqslant u_{n}(b)-u_{n}(a), n \in \mathbf{N}^{+} . $$ 由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}(b)-u_{n}(a)\right)$ 收玫。根据 M 判别法，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}(x)-u_{n}(a)\right)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。从而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。 同法可证：若 $u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 单调减少，则任意 $x \in[a, b]$ 有 $$ u_{n}(a)-u_{n}(b) \geqslant u_{n}(x)-u_{n}(b) \geqslant 0 . $$ 由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}(a)-u_{n}(b)\right)$ 收玫。根据 M 判别法，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}(x)-u_{n}(b)\right)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。从而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上也一致收敛。