中册 6.3 函数项级数 第42题
📝 题目
42．设 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 是 $[0,1]$ 上正的递减且收玫于 0 的函数列，每个 $u_{n}(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调函数．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。（广西大学 2008 ，江苏大学 2010 ，南京师大 2009（［a，b］））
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $u_{n}(x)$ 为 $[0,1]$ 上的单调函数，所以 $\forall x \in[0,1], u_{n}(x) \leqslant u_{n}(0)+u_{n}(1)$ ．
又因为 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 是 $[0,1]$ 上正的递减且收玫于 0 的函数列，所以 $\left\{u_{n}(0)\right\}$ 与 $\left\{u_{n}(1)\right\}$ 均收敛于 0 ．于是 $u_{n}(0)+u_{n}(1)$ 收敛于 0 ，从而 $\left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0 ．
又 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}$ 的部分和一致有界，由狄利克雷判别法，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用单调性得到上界
由于每个 $u_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调，不妨设单调递增（递减类似可证）。则对任意 $x \in [0,1]$，有 $u_n(x) \leq u_n(0) + u_n(1)$。实际上，若 $u_n$ 递增，则 $u_n(x) \leq u_n(1) \leq u_n(0)+u_n(1)$；若递减，则 $u_n(x) \leq u_n(0) \leq u_n(0)+u_n(1)$。因此 $0 \leq u_n(x) \leq u_n(0)+u_n(1)$。
公式：u_n(x) \leq u_n(0)+u_n(1)
提示：注意单调性有两种情况，但结论统一。
步骤 2/4
目标：证明 $u_n(x)$ 一致收敛于 0
由条件，$\{u_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 0，且 $u_n(x) > 0$。特别地，$u_n(0) \to 0$，$u_n(1) \to 0$。于是 $u_n(0)+u_n(1) \to 0$。由第一步的不等式，$\sup_{x \in [0,1]} u_n(x) \leq u_n(0)+u_n(1) \to 0$，故 $\{u_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 0。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} u_n(x) = 0
提示：一致收敛的定义：$\sup|u_n(x)-0|\to 0$。
步骤 3/4
目标：验证交错级数部分和一致有界
考虑级数 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$ 的部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N (-1)^n$。注意 $S_N(x)$ 与 $x$ 无关，且 $|S_N| \leq 1$ 对所有 $N$ 成立，因此部分和序列一致有界。
公式：|S_N| = \left|\sum_{n=1}^N (-1)^n\right| \leq 1
提示：部分和与 $x$ 无关，一致有界自然成立。
步骤 4/4
目标：应用狄利克雷判别法
狄利克雷判别法：若 $\{a_n(x)\}$ 单调且一致收敛于 0，而 $\sum b_n(x)$ 的部分和一致有界，则 $\sum a_n(x)b_n(x)$ 一致收敛。这里取 $a_n(x)=u_n(x)$，$b_n(x)=(-1)^n$。由第二步，$u_n(x)$ 一致收敛于 0；由第三步，$\sum (-1)^n$ 的部分和一致有界。因此 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n u_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty (-1)^n u_n(x) \text{ 一致收敛}
提示：狄利克雷判别法要求 $a_n(x)$ 对每个 $x$ 单调，这里由 $u_n(x)$ 的正且递减（对 $n$）保证。
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