中册 6.3 函数项级数 第43题
📝 题目
43．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收玫于 $S(x)$ ．函数 $g(x)$ 在 $D$ 上有界．证明： $\sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收玫于 $g(x) S(x)$ 。
（2）设 $a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛．函数列 $\left\{b_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致有界。证明：$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛．
（3）设 $a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $I$ 上一致收玫．$\forall n \in \mathrm{~N}^{+},\left|b_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(x), x \in I$ ．证明 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ 在 $I$ 上一致收敛．$\cdots$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} u_{k}(x)$ ，则 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收玫于 $S(x)$ ，于是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对一切 $x \in D$ 有 $\left|S_{n}(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ 。
因为函数 $g(x)$ 在 $D$ 上有界，故存在 $M>0$ 使 $|g(x)| \leqslant M, x \in D$ 。于是当 $n>N$ 时，对任一 $x \in D$ 有
$$
\left|S_{n}(x) g(x)-g(x) S(x)\right|=|g(x)| \cdot\left|S_{n}(x)-S(x)\right|0, \forall n, x \in[a, b]$ ，有 $\left|b_{n}(x)\right| \leqslant M$ ．从而，$\forall x \in[a, b]$ 有 $\left|a_{n}(x) \cdot b_{n}(x)\right| \leqslant M a_{n}(x)$ 。
因函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在区间 $[a, b]$ 一致收敛，故 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall m>n>N$ ，对 $\forall x \in D$ ，有 $\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}(x)<\varepsilon$ ．于是 $\forall m>n>N$ ，对 $\forall x \in D$ ，有 $\sum_{k=n+1}^{m}\left|a_{k}(x) b_{k}(x)\right| \leqslant M\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}(x)\right|<\varepsilon$ ．
由 Cauchy 收玫准则，函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收玫。
（3）因函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $I$ 一致收敛，故 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall m>n>N$ ，对 $\forall x \in I$ 有
$\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}(x)\right|<\varepsilon$ ．于是 $\forall m>n>N$ ，对 $\forall x \in I$ ，有
$$
\sum_{k=n+1}^{m}\left|b_{k}(x)\right| \leqslant \sum_{k=n+1}^{m} a_{k}(x)<\varepsilon
$$
由 Cauchy 收玫准则，函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}(x)\right|$ 在 $I$ 上一致收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明（1）：利用一致收敛和有界性
设 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$，则 $\{S_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $S(x)$。由定义，$\forall \varepsilon>0$，$\exists N>0$，当 $n>N$ 时，对一切 $x\in D$ 有 $|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon$。因为 $g(x)$ 在 $D$ 上有界，故存在 $M>0$ 使 $|g(x)|\leq M$，$x\in D$。于是当 $n>N$ 时，对任一 $x\in D$ 有 $|S_n(x)g(x)-g(x)S(x)|=|g(x)|\cdot|S_n(x)-S(x)|
公式：|S_n(x)g(x)-g(x)S(x)| = |g(x)|\cdot|S_n(x)-S(x)|
提示：注意有界性条件：$g(x)$ 有界，但不需要一致有界，因为 $M$ 是常数。
步骤 2/3
目标：证明（2）：利用一致有界和一致收敛的Cauchy准则
由于 $\{b_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致有界，存在 $M>0$，$\forall n$，$\forall x\in[a,b]$，有 $|b_n(x)|\leq M$。从而 $|a_n(x)b_n(x)|\leq M a_n(x)$。因为 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，由Cauchy一致收敛准则，$\forall \varepsilon>0$，$\exists N>0$，$\forall m>n>N$，$\forall x\in[a,b]$，有 $\sum_{k=n+1}^m a_k(x)<\varepsilon/M$。于是 $\sum_{k=n+1}^m |a_k(x)b_k(x)|\leq M\sum_{k=n+1}^m a_k(x)<\varepsilon$。由Cauchy准则，$\sum_{n=1}^\infty |a_n(x)b_n(x)|$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：|a_n(x)b_n(x)|\leq M a_n(x)
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取：需要将 $\varepsilon$ 除以 $M$ 以得到 $a_n$ 级数的部分和上界。
步骤 3/3
目标：证明（3）：利用比较判别法和一致收敛的Cauchy准则
由于 $\sum_{n=1}^\infty a_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛，由Cauchy一致收敛准则，$\forall \varepsilon>0$，$\exists N>0$，$\forall m>n>N$，$\forall x\in I$，有 $\sum_{k=n+1}^m a_k(x)<\varepsilon$。又因为 $|b_n(x)|\leq a_n(x)$，所以 $\sum_{k=n+1}^m |b_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^m a_k(x)<\varepsilon$。由Cauchy准则，$\sum_{n=1}^\infty |b_n(x)|$ 在 $I$ 上一致收敛，从而 $\sum_{n=1}^\infty b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛（绝对收敛级数必收敛）。
公式：\sum_{k=n+1}^m |b_k(x)|\leq \sum_{k=n+1}^m a_k(x)
提示：注意条件 $|b_n(x)|\leq a_n(x)$ 保证了比较判别法成立，且 $a_n(x)\geq0$ 使得部分和单调。
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