中册 6.3 函数项级数 第44题
📝 题目
44．设 $D \subset(-\infty,+\infty), x_{0}$ 为 $D$ 的极限点，则当级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 一致收玫，且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=a_{n}$ ， $n=1,2, \cdots$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $D$ 上一致收敛，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0, \forall m>n>N$ ，对 $\forall x \in D$ ，有
$$
\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_{k}(x)\right|<\varepsilon .
$$
让 $x \rightarrow x_{0}$ 得 $\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_{k}\right| \leqslant \varepsilon$ ．由 Cauchy 收玫准则知，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用一致收敛性写出Cauchy条件
由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛，根据一致收敛的Cauchy准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m > n > N$ 时，对任意 $x \in D$，有
$$
\left|\sum_{k=n+1}^{m} u_k(x)\right| < \varepsilon.
$$
公式：一致收敛的Cauchy准则：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n>N, \forall x\in D, \left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|<\varepsilon$
提示：注意一致收敛的Cauchy条件中，$N$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$。
步骤 2/3
目标：取极限得到部分和的不等式
固定满足 $m > n > N$ 的 $n$ 和 $m$，对上述不等式两边令 $x \to x_0$（$x_0$ 是 $D$ 的极限点，且 $\lim_{x\to x_0} u_k(x) = a_k$），由极限的保号性可得
$$
\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| \leq \varepsilon.
$$
公式：极限的保号性：若 $|f(x)| < \varepsilon$ 且 $\lim f(x) = L$，则 $|L| \leq \varepsilon$
提示：注意极限过程下不等式变为非严格不等式，即 $<$ 变为 $\leq$。
步骤 3/3
目标：应用Cauchy收敛准则证明数项级数收敛
由上述推导，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m > n > N$ 时，有 $\left|\sum_{k=n+1}^{m} a_k\right| \leq \varepsilon$。根据数项级数收敛的Cauchy准则，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
公式：数项级数收敛的Cauchy准则：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall m>n>N, \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right|<\varepsilon$
提示：注意这里 $\leq \varepsilon$ 与 $< \varepsilon$ 在收敛性判定中等价，因为 $\varepsilon$ 任意。
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