中册 6.3 函数项级数 第47题
📝 题目
47．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $[a, b]$ 上处处收玫，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $[a, b]$上一致收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由已知得 $|f(x)|<1$ ．由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，故存在 $x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ 使 $f\left(x_{1}\right)=\max _{[a, b]} f(x), f\left(x_{2}\right)=\min _{[a, b]} f(x)$ ，且 $\forall x \in[a, b],-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由处处收敛推出|f(x)|<1
由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (f(x))^n$ 在 $[a,b]$ 上处处收敛，根据级数收敛的必要条件，通项趋于0，即 $\lim_{n\to\infty} (f(x))^n = 0$，这要求 $|f(x)| < 1$ 对每个 $x \in [a,b]$ 成立。
公式：\lim_{n\to\infty} (f(x))^n = 0 \Rightarrow |f(x)| < 1
提示：注意收敛级数的通项必须趋于0，但反之不成立。
步骤 2/6
目标：利用连续性得到最值
因为 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以存在最大值和最小值。设 $f(x_1) = \max_{[a,b]} f(x)$，$f(x_2) = \min_{[a,b]} f(x)$。由第一步知 $-1 < f(x_2) \leq f(x) \leq f(x_1) < 1$。
提示：注意最值点可能不止一个，但存在性由连续函数保证。
步骤 3/6
目标：定义控制常数c和d
令 $c = \max\{|f(x_2)|, |f(x_1)|\}$，$d = \min\{|f(x_2)|, |f(x_1)|\}$。由于 $|f(x)| < 1$，有 $0 \leq d \leq c < 1$。注意 $c$ 是 $|f(x)|$ 的上界，$d$ 是下界（可能为0）。
提示：c和d不依赖于x，是全局常数。
步骤 4/6
目标：写出余项表达式
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (f(x))^n$ 是等比级数，其部分和 $S_n(x) = \frac{f(x)(1-(f(x))^n)}{1-f(x)}$，余项 $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} (f(x))^k = \frac{(f(x))^{n+1}}{1-f(x)}$。
公式：R_n(x) = \frac{(f(x))^{n+1}}{1-f(x)}
提示：注意等比级数求和公式成立的条件是 $|f(x)|<1$，这里已满足。
步骤 5/6
目标：估计余项的上界
对任意 $x \in [a,b]$，有 $|R_n(x)| = \left|\frac{(f(x))^{n+1}}{1-f(x)}\right| \leq \frac{|f(x)|^{n+1}}{1-|f(x)|}$。由于 $|f(x)| \leq c$ 且 $1-|f(x)| \geq 1-d$（因为 $|f(x)| \geq d$ 时 $1-|f(x)| \leq 1-d$，但这里需要下界，注意 $|f(x)|$ 可能小于 $d$？实际上 $d$ 是 $|f(x)|$ 的最小值，所以 $|f(x)| \geq d$，从而 $1-|f(x)| \leq 1-d$，但分母越小分数越大，所以不等式方向需小心。正确估计：$|R_n(x)| \leq \frac{c^{n+1}}{1-d}$，因为分子放大为 $c^{n+1}$，分母缩小为 $1-d$（注意 $1-d > 0$）。
提示：注意分母放缩的方向，确保得到上界。
步骤 6/6
目标：证明一致收敛
由于 $0 \leq c < 1$，所以 $\lim_{n\to\infty} c^{n+1} = 0$，从而 $\lim_{n\to\infty} \frac{c^{n+1}}{1-d} = 0$。因此对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\frac{c^{n+1}}{1-d} < \varepsilon$，从而对所有 $x \in [a,b]$，$|R_n(x)| < \varepsilon$，即余项一致趋于0，故级数一致收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in[a,b]} |R_n(x)| = 0
提示：一致收敛的充要条件是余项一致趋于0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。