中册 6.3 函数项级数 第48题
📝 题目
48．设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)=\left\{x\left|0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=S(x), \sum_{k=1}^{n} u_{k}(x)=S_{n}(x), x \in U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 。
（1）先证：$\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛。
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 内一致收敛，故 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall p \in \mathrm{~N}, \forall x \in U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ ，有
$$
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} u_{k}(x)\right|<\varepsilon
$$
令 $x \rightarrow x_{0}$ 得 $\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} c_{k}\right| \leqslant \varepsilon$ ．由 Cauchy 收玫准则，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫．记 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}=c$ ．
（2）由 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 内一致收玫及 $\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}=c$ 的收敛性知，$\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall x \in U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 有
$$
\left|S(x)-S_{n}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3},\left|c-\sum_{k=1}^{n} c_{k}\right|<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
将 $n$ 暂时固定， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} S_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}=c$ ，故对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta_{1}>0\left(0<\delta_{1}<\delta\right)$ ，当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：记号和已知条件
记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n} u_k(x)$，$x \in U^\circ(x_0)=\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta\}$。已知 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $U^\circ(x_0)$ 上一致收敛，且 $\lim_{x\to x_0} u_n(x)=c_n$。
提示：注意 $U^\circ(x_0)$ 是去心邻域，$x$ 不能等于 $x_0$。
步骤 2/6
目标：证明级数 $\sum c_n$ 收敛
由一致收敛的柯西准则：$\forall \varepsilon>0$，$\exists N$，当 $n>N$ 时，对任意 $p\in\mathbb{N}$ 和任意 $x\in U^\circ(x_0)$，有 $\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)\right|<\varepsilon$。令 $x\to x_0$，利用极限保不等式性得 $\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} c_k\right|\leq\varepsilon$。由柯西准则，$\sum c_n$ 收敛。记 $c=\sum_{n=1}^{\infty} c_n$。
公式：$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)\right|<\varepsilon$ 对任意 $x$ 成立，取极限得 $\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} c_k\right|\leq\varepsilon$
提示：极限保不等式性：若 $|a_n|\leq M$ 且 $a_n\to a$，则 $|a|\leq M$。这里 $a_n=\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x_n)$ 取合适的 $x_n\to x_0$。
步骤 3/6
目标：利用一致收敛和级数收敛进行估计
由于 $S(x)$ 一致收敛，$\forall \varepsilon>0$，$\exists N_1$，当 $n>N_1$ 时，对任意 $x\in U^\circ(x_0)$ 有 $|S(x)-S_n(x)|<\varepsilon/3$。又 $\sum c_n$ 收敛，故存在 $N_2$，当 $n>N_2$ 时，$|c-\sum_{k=1}^n c_k|<\varepsilon/3$。取 $N=\max(N_1,N_2)$。
公式：$|S(x)-S_n(x)|<\varepsilon/3$，$|c-\sum_{k=1}^n c_k|<\varepsilon/3$
提示：注意 $N$ 的选取要同时满足两个条件。
步骤 4/6
目标：固定 $n$，利用 $S_n(x)$ 的极限
固定 $n>N$，由于 $\lim_{x\to x_0} S_n(x)=\sum_{k=1}^n c_k$，存在 $\delta_1>0$（$\delta_1<\delta$），当 $0<|x-x_0|<\delta_1$ 时，$|S_n(x)-\sum_{k=1}^n c_k|<\varepsilon/3$。
公式：$|S_n(x)-\sum_{k=1}^n c_k|<\varepsilon/3$
提示：这里 $n$ 是固定的，所以 $S_n(x)$ 是有限和，极限可以逐项取。
步骤 5/6
目标：三角不等式估计 $|S(x)-c|$
当 $0<|x-x_0|<\delta_1$ 时，有
$$|S(x)-c| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-\sum_{k=1}^n c_k| + |\sum_{k=1}^n c_k - c| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.$$
公式：$|S(x)-c| < \varepsilon$
提示：三角不等式是常用的技巧，注意每一项的估计范围。
步骤 6/6
目标：得出结论
由极限定义，$\lim_{x\to x_0} S(x)=c$，即 $\lim_{x\to x_0} \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to x_0} u_n(x)$。证毕。
公式：$\lim_{x\to x_0} \sum_{n=1}^\infty u_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to x_0} u_n(x)$
提示：结论表明在一致收敛条件下，极限与求和可交换顺序。
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