中册 6.3 函数项级数 第49题
📝 题目
49．设 $f_{n}(x)$ 是 $[0,1]$ 上的非负连续函数．$\forall 0<\delta<1, \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $[0, \delta]$ 上一致收玫于 $f(x)$ ．若 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=a$ 有限，证明：（1）$\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛；（2）若令 $\bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \in[0,1), \\ a, x=1,\end{array}\right.$ 则 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫于 $\bar{f}(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x),\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上连续．对每一 $x \in[0,1],\left\{S_{n}(x)\right\}$ 单调递增．
先证：$\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1)$ 上收玫于 $f(x)$ ．
$\forall x_{0} \in[0,1), \exists[0, \delta] \subset[0,1)$ ，使 $\forall x_{0} \in[0, \delta]$ ，级数 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0, \delta]$ 上一致收敛到 $f(x)$ ，于是 $f(x)$在 $[0, \delta]$ 连续，从而 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1)$ 上收敛于 $f(x)$ ，且 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 连续．
再证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收玫。
对 $0 \leqslant x<1$ 有 $S_{n}(x) \leqslant f(x)$ ．于是 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S_{n}(x)=S_{n}(1) \leqslant \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=a$ ，即 $\left\{S_{n}(1)\right\}$ 有界．由单调有界定理，$\left\{S_{n}(1)\right\}$ 收敛，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛。
（2）显然， $\bar{f}(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，$\left\{S_{n}(x)\right\}$ 单调递增，$\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $\bar{f}(x)$ ．由狄尼定理知，$\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $\bar{f}(x)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义部分和并分析性质
设 $S_n(x)=\sum_{k=1}^n f_k(x)$，则 $S_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且非负，且对每个固定的 $x$，$\{S_n(x)\}$ 单调递增。
公式：S_n(x)=\sum_{k=1}^n f_k(x)
提示：注意 $f_n$ 非负，所以部分和单调递增。
步骤 2/7
目标：证明 $\{S_n(x)\}$ 在 $[0,1)$ 上收敛于 $f(x)$
对任意 $x_0 \in [0,1)$，取 $\delta$ 满足 $x_0 < \delta < 1$，则 $x_0 \in [0,\delta]$。由题设，$\sum f_n(x)$ 在 $[0,\delta]$ 上一致收敛于 $f(x)$，故 $S_n(x)$ 在 $[0,\delta]$ 上一致收敛于 $f(x)$，从而逐点收敛。因此 $\lim_{n\to\infty} S_n(x_0)=f(x_0)$，且 $f$ 在 $[0,\delta]$ 上连续，故在 $[0,1)$ 上连续。
提示：注意 $\delta$ 的选取依赖于 $x_0$，但一致收敛性保证逐点收敛。
步骤 3/7
目标：利用单调性得到 $S_n(x) \leq f(x)$
由于 $\{S_n(x)\}$ 单调递增且收敛到 $f(x)$，故对任意 $n$ 和 $x \in [0,1)$，有 $S_n(x) \leq f(x)$。
公式：S_n(x) \leq f(x)
提示：单调递增序列的极限不小于每一项。
步骤 4/7
目标：证明 $\sum f_n(1)$ 收敛
对每个 $n$，令 $x \to 1^-$，由 $S_n(x)$ 的连续性得 $\lim_{x\to 1^-} S_n(x)=S_n(1)$。由 $S_n(x) \leq f(x)$ 取极限得 $S_n(1) \leq \lim_{x\to 1^-} f(x)=a$。因此 $\{S_n(1)\}$ 单调递增且有上界 $a$，故收敛，即 $\sum_{n=1}^\infty f_n(1)$ 收敛。
公式：S_n(1) \leq a
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可能无定义，但极限存在。
步骤 5/7
目标：定义 $\bar{f}(x)$ 并说明连续性
定义 $\bar{f}(x)=\begin{cases} f(x), & x\in[0,1) \\ a, & x=1 \end{cases}$。由于 $f$ 在 $[0,1)$ 连续且 $\lim_{x\to 1^-} f(x)=a$，故 $\bar{f}$ 在 $[0,1]$ 上连续。
提示：连续性的关键在于 $x=1$ 处的左极限等于函数值。
步骤 6/7
目标：证明 $S_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $\bar{f}(x)$
对 $x\in[0,1)$，由步骤2知 $\lim_{n\to\infty} S_n(x)=f(x)=\bar{f}(x)$。对 $x=1$，由步骤4知 $\lim_{n\to\infty} S_n(1)=\sum f_n(1)$，记该和为 $S$。需证 $S=a$。由 $S_n(x)\leq f(x)$ 对 $x<1$，令 $x\to 1^-$ 得 $S_n(1)\leq a$，故 $S\leq a$。另一方面，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta$ 使 $x\in(\delta,1)$ 时 $f(x)>a-\varepsilon$。由一致收敛性，存在 $N$ 使 $n\geq N$ 时 $S_n(x)>f(x)-\varepsilon>a-2\varepsilon$，取 $x\to 1^-$ 得 $S_n(1)\geq a-2\varepsilon$，故 $S\geq a$。因此 $S=a$。
提示：证明 $S=a$ 需要利用一致收敛性和极限交换。
步骤 7/7
目标：应用狄尼定理得一致收敛
由于 $\{S_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，且逐点收敛于连续函数 $\bar{f}(x)$，由狄尼定理（Dini's theorem）知，$\{S_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $\bar{f}(x)$。
提示：狄尼定理要求函数列单调且极限函数连续，这里满足。
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