中册 6.4 幂级数 第1题

\section*{解题过程：} （1）记 $\displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\mathrm{e}$ ，故级数的收玫半径 $\displaystyle R=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 当 $\displaystyle x= \pm \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，由于 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}>\mathrm{e}$ ，所以 $\displaystyle \left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\left( \pm \frac{1}{\mathrm{e}}\right)\right|>1$ ，故级数发散．于是级数的收玫域为 $\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$. （2）因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}=\mathrm{e}^{-1}$ ，故级数的收玫半径 $R=\mathrm{e}$ ，收敛区间为 $(-\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． 当 $x=\mathrm{e}$ 时，原级数变为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+n^{-1}\right)^{n}}\right]^{n}$ ，因 $\displaystyle \left(1+n^{-1}\right)^{n}<\mathrm{e},\left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+n^{-1}\right)^{n}}\right]^{n} \geqslant 1$ ，级数发散； 同理，当 $x=-\mathrm{e}$ 时，级数也发散，故级数的收敛域为 $(-\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． （3）因 $\displaystyle 1=\sqrt[n]{n \cdot \frac{1}{n}} \leqslant \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}} \leqslant \sqrt[n]{n \cdot 1}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n \cdot 1}=1$ ，故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}=1$ ，从而收敛半径 $R=1$ ． 当 $x=1$ 时，$\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{-1}>\frac{1}{n}>0$ ，可见级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ 在 $x=1$ 时发散． 当 $x=-1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \text { 、 }}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ 为交错级数，由莱布尼兹判别法知级数收玫．故级数的收敛区域为 $[-1,1)$ ． （4）因为 $\displaystyle \sqrt[n]{n \cdot \frac{1}{n^{2}}} \leqslant \sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}} \leqslant \sqrt[n]{n \cdot 1}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n \cdot \frac{1}{n^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n \cdot 1}=1$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}}=1$ ，因此级数的收玫半径 $R=1$ ． 因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right| \neq 0$ ，故当 $x= \pm 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 发散．故级数的收敛区域为 $(-1,1)$ ． （5）由于 $\displaystyle \frac{1}{n \ln n}<\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}<\frac{2}{n \ln n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n \ln n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{2}{n \ln n}}=1$ ，故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}}=1$ ，因此级数的收玫半径 $R=1$ ． 当 $x=1$ 时，由积分判别法，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散，而 $\displaystyle \frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}>\frac{1}{n \ln n}$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right)$ 发散． 当 $x=-1$ 时，由莱布尼兹判别法，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n \ln n}$ 收敛，而 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{3}}$ 绝对收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right)$ 收敛。从而 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $[-1,1)$ ． （6）由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha} \sqrt[n]{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{\ln (n+1)}}{\sqrt[n]{n^{\alpha} \sqrt[n]{n}}}=1$ ，所以收玫半径 $R=1$ 。 研究当 $x=1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}$ 的玫散性． 当 $\alpha>1$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{\frac{1+\alpha}{2}} \cdot \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\frac{\alpha-1}{2}+\frac{1}{n}}}=0$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1+\alpha}{2}}}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}$ 收玫．而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}$ 收玫，故级数的收玫域为 $[-1,1]$ ． 当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{\frac{1+\alpha}{2}} \cdot \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\frac{\alpha-1}{2}+\frac{1}{n}}}=+\infty$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}$ 发散．由于当 $n$ 充分大时，$\displaystyle \left\{\frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}\right\}$ 单调递减趋向于 0 ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}}$ 收玫，故收敛域为 $[-1,1)$ ． 综上，当 $\alpha>1$ 时级数的收敛域为 $[-1,1]$ ，当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时级数的收玫域为 $[-1,1)$ ． （7）因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln ((n+1)!)}{\ln (n!)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{\ln (n+1)}{\ln (n!)}\right)=1$ ，所以收敛半径 $R=1$ ． 当 $x=1$ 时，由于 $\displaystyle \frac{1}{\ln (n!)}=\frac{1}{\ln 2+\ln 3+\cdots+\ln n} \geqslant \frac{1}{(n-1) \ln n}$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) \ln n}$ 发散，于是级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ 发散． 当 $x=-1$ 时，由莱布尼兹判别法得交错级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\ln (n!)}$ 收玫． 故 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ 的收敛域为 $[-1,1)$ ．