中册 6.4 幂级数 第2题
📝 题目
2．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}=x+y$ 且 $y(0)=1$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $t=x+1$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ 化为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n} t^{n}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}}=3$ 。所以 $\displaystyle R=\frac{1}{3}$.
当 $\displaystyle t=\frac{1}{3}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}$ 发散．
当 $\displaystyle t=-\frac{1}{3}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cdot \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$ 收玫。
因此，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n} t^{n}$ 的收敛域为 $\displaystyle \left[-\frac{1}{3}, 1\right)$ ，从而所求级数的收敛域为 $\displaystyle -\frac{1}{3} \leqslant x+1<\frac{1}{3}$ ，即
$\displaystyle x \in\left[-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}\right)$.
（2）因为上极限 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\left[3+(-1)^{n}\right]^{n}}{n}}=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{4^{n}}{n}}=4$ ，所以 $\displaystyle R=\frac{1}{4}$ ．
当 $\displaystyle x=\frac{1}{4}$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[3+(-1)^{n}\right]^{n}}{4^{n} n}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 k}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{2 k+1}}{4^{2 k+1}(2 k+1)}$ ．由于右端两项前者发散，后者收敛，因而左端级数发散。
同样，当 $\displaystyle x=-\frac{1}{4}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[3+(-1)^{n}\right]^{n}}{(-4)^{n} n}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2 k}-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{2 k+1}}{4^{2 k+1}(2 k+1)}$ 发散。
所以级数的收玫域 $\displaystyle \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ ．
（3）因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{1}{n-3^{2 n}}\right| x^{2 n}}=\frac{1}{3^{2}}\left|x^{2}\right|$ ，所以当 $|x|<3$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ 收敛，当 $|x|>3$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ 发散，当 $|x|=3$ 时，因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} 3^{2 n} \neq 0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} 3^{2 n}$ 发散．于是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$的收敛域为 $(-3,3)$ ．
（4）解微分方程 $y^{\prime}=x+y, y(0)=1$ 得 $y=-1-x+2 \mathrm{e}^{x}$ 。于是
又
$$
\begin{gathered}
\sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}=2 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n}\right) x^{n} . \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{2}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{2}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{\lim _{n \rightarrow n} \frac{1}{n} \ln \left(\frac{2}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)}=1,
\end{gathered}
$$
所以级数的收玫半径 $R=1$ ．
当 $x= \pm 1$ 时，由于 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n}=\frac{1}{2 n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ ，所以级数收玫．因此所求级数的收玫域为 $[-1,1]$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：第(1)题：变量代换与收敛半径计算
令 $t=x+1$，则原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n} t^{n}$。利用根值判别法求收敛半径：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}\right|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{3^{n}\left(1+\left(-\frac{2}{3}\right)^{n}\right)/n} = 3$，故收敛半径 $R=\frac{1}{3}$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
提示：注意 $3^n$ 占主导，$(-2)^n$ 可忽略，但需确认极限存在。
步骤 2/8
目标：第(1)题：端点收敛性判断
当 $t=\frac{1}{3}$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2/3)^n}{n}$，前者发散（调和级数），后者收敛（交错级数），故整体发散。当 $t=-\frac{1}{3}$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2/3)^n}{n}$，前者条件收敛，后者绝对收敛，故整体收敛。因此 $t$ 的收敛域为 $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$，即 $x$ 的收敛域为 $[-\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$。
提示：注意拆分后分别判断收敛性，调和级数发散，交错调和级数条件收敛。
步骤 3/8
目标：第(2)题：收敛半径计算
计算上极限：$\varlimsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{[3+(-1)^n]^n}{n}} = \varlimsup_{n\to\infty} \frac{3+(-1)^n}{\sqrt[n]{n}}$。由于 $3+(-1)^n$ 在 $2$ 和 $4$ 之间交替，上极限为 $4$，故收敛半径 $R=\frac{1}{4}$。
公式：$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
提示：注意上极限与极限的区别，$3+(-1)^n$ 无极限，但上极限为 $4$。
步骤 4/8
目标：第(2)题：端点收敛性判断
当 $x=\frac{1}{4}$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{[3+(-1)^n]^n}{4^n n}$。分奇偶项：$n$ 为偶数时 $3+(-1)^n=4$，项为 $\frac{1}{n}$；$n$ 为奇数时 $3+(-1)^n=2$，项为 $\frac{2^n}{4^n n} = \frac{1}{2^n n}$。因此级数 $= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2k+1}(2k+1)}$，前者发散（调和级数），后者收敛，故整体发散。当 $x=-\frac{1}{4}$ 时，类似可得发散。故收敛域为 $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$。
提示：注意奇偶项分离，调和级数发散导致整体发散。
步骤 5/8
目标：第(3)题：收敛半径计算
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2n}} x^{2n}$，只有偶次项。令 $a_n = \frac{1}{n-3^{2n}}$，则 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{3^{2n}-n}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$。但级数是 $x^{2n}$，故收敛半径 $R = \sqrt{9} = 3$。
公式：$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{R^2}$ 对于 $x^{2n}$ 形式
提示：注意幂次为 $2n$，收敛半径需开平方。
步骤 6/8
目标：第(3)题：端点收敛性判断
当 $|x|=3$ 时，$x^{2n}=3^{2n}$，通项为 $\frac{3^{2n}}{n-3^{2n}} \to -1 \neq 0$，故级数发散。因此收敛域为 $(-3,3)$。
提示：端点处通项不趋于0，级数必发散。
步骤 7/8
目标：第(4)题：求解微分方程
解一阶线性微分方程 $y' = x + y$，齐次解 $y_h = Ce^x$，特解设为 $y_p = Ax+B$，代入得 $A = x + (Ax+B)$，比较系数得 $A = -1, B = -1$，故通解 $y = Ce^x - x - 1$。利用初始条件 $y(0)=1$ 得 $C=2$，所以 $y = 2e^x - x - 1$。
公式：$y' - y = x$，积分因子 $\mu = e^{-x}$
提示：注意特解形式，不要遗漏常数。
步骤 8/8
目标：第(4)题：级数收敛半径与收敛域
代入得 $y(1/n)-1-1/n = 2(e^{1/n}-1-1/n)$。由于 $e^{1/n} = 1 + 1/n + 1/(2n^2) + o(1/n^2)$，故 $e^{1/n}-1-1/n \sim 1/(2n^2)$。因此 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|2(e^{1/n}-1-1/n)|} = 1$，收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时，通项 $\sim \frac{1}{n^2}$，级数绝对收敛，故收敛域为 $[-1,1]$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$
提示：利用泰勒展开估计通项量级，端点处用 $p$-级数判别。
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