中册 6.4 幂级数 第3题
📝 题目
3．求下列幂级数的收玫域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
解题分析：为求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(\varphi(x))^{n}$ 的收玫域，先令 $t=\varphi(x)$ ，转求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} t^{n}$ 的收玫域。
\section*{解题过程：}
（1）令 $\displaystyle t=\frac{x-1}{2 x+1}, u_{n}(t)=\frac{t^{n^{2}}}{2^{n}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(t)\right|}{\left|u_{n}(t)\right|}=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty}|t|^{2 n+1}=\left\{\begin{array}{l}0,|t|<1, \\ 2^{-1},|t|=1 \text { ，于是级数 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} t^{n^{2}} \text { 的收 } \\ +\infty,|t|>1 \text { ．}\end{array}\right.$
玫域为 $[-1,1]$ ．由 $\displaystyle -1 \leqslant \frac{x-1}{2 x+1} \leqslant 1$ 得原级数的收玫域为 $(-\infty,-2] \cup[0,+\infty)$ ．
（2）令 $\displaystyle t=\frac{x}{2 x+1}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n \sqrt[n]{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n \sqrt[n]{n}}}=1$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}} t^{n}$ 的收玫半径 $R=1$ 。
当 $t=1$ 时，由 Abel 判别法得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 收玫；当 $t=-1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt[n]{n}}$ 发散，故幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}} t^{n}$ 的收敛域为 $(-1,1]$ ．于是由 $\displaystyle -1<\frac{x}{2 x+1} \leqslant 1$ 得幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ 的收敛域为 $\displaystyle \left\{x>-\frac{1}{3}\right\} \cup\{x \leqslant-1\}$ ．
（3）令 $\displaystyle t=\frac{3+x}{3-2 x}$ ，原级数变为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right) t^{n}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right) /\left(\sin \frac{1}{3 n+3}\right)=1$ ，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right) t^{n}$ 的收敛半径 $R=1$ ．
当 $t=1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{3 n}$ 发散；当 $t=-1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{3 n}$ 收玫．故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right) t^{n}$ 的收玫域为 $[-1,1)$ ．于是由 $\displaystyle -1 \leqslant \frac{3+x}{3-2 x}<1$ 得原级数的收玫域为 $(-\infty, 0) \cup[6, \infty)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：整体思路：变量代换化为标准幂级数
对于形如 $\sum a_n (\varphi(x))^n$ 的级数，令 $t = \varphi(x)$，先求 $\sum a_n t^n$ 的收敛域，再解出 $x$ 的范围。
提示：注意 $\varphi(x)$ 可能不是线性函数，解不等式时需小心分母为零的情况。
步骤 2/9
目标：（1）变量代换与比值判别法求收敛半径
令 $t = \frac{x-1}{2x+1}$，则级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} t^{n^2}$。使用比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} |t|^{2n+1}$。当 $|t|<1$ 时极限为0，级数绝对收敛；当 $|t|>1$ 时极限为 $+\infty$，级数发散；当 $|t|=1$ 时极限为 $\frac{1}{2}$，级数收敛。故 $t$ 的收敛域为 $[-1,1]$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{1}{2} |t|^{2n+1}$
提示：注意 $t^{n^2}$ 不是标准幂级数形式，但比值判别法仍适用；$|t|=1$ 时需单独判断。
步骤 3/9
目标：（1）解不等式得原级数收敛域
由 $-1 \le \frac{x-1}{2x+1} \le 1$ 解出 $x$ 的范围。注意分母 $2x+1 \neq 0$。解不等式组：$\frac{x-1}{2x+1} \ge -1$ 且 $\frac{x-1}{2x+1} \le 1$。解得 $x \le -2$ 或 $x \ge 0$，且 $x \neq -\frac{1}{2}$。故收敛域为 $(-\infty, -2] \cup [0, +\infty)$。
提示：解分式不等式时注意分母符号，需分情况讨论；端点需验证是否包含。
步骤 4/9
目标：（2）变量代换与根值判别法求收敛半径
令 $t = \frac{x}{1+2x}$，则级数为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\sqrt[n]{n}} t^n$。计算收敛半径：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}} = 1$，故 $R=1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$
提示：注意 $\sqrt[n]{n} \to 1$，所以 $\sqrt[n]{n\sqrt[n]{n}} \to 1$。
步骤 5/9
目标：（2）判断端点收敛性
当 $t=1$ 时，级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{n\sqrt[n]{n}}$，由Abel判别法（或莱布尼茨判别法）知收敛；当 $t=-1$ 时，级数为 $\sum \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$，与调和级数比较发散。故 $t$ 的收敛域为 $(-1,1]$。
提示：注意 $t=-1$ 时级数为正项级数，可用比较判别法；$\frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \sim \frac{1}{n}$ 发散。
步骤 6/9
目标：（2）解不等式得原级数收敛域
由 $-1 < \frac{x}{1+2x} \le 1$ 解出 $x$。注意分母 $1+2x \neq 0$。解不等式：$\frac{x}{1+2x} > -1$ 且 $\frac{x}{1+2x} \le 1$。解得 $x \le -1$ 或 $x > -\frac{1}{3}$。故收敛域为 $(-\infty, -1] \cup (-\frac{1}{3}, +\infty)$。
提示：注意 $t=-1$ 对应 $x$ 的边界是否包含：$t=-1$ 时级数发散，故 $x$ 取不到使 $t=-1$ 的值。
步骤 7/9
目标：（3）变量代换与比值判别法求收敛半径
令 $t = \frac{3+x}{3-2x}$，则级数为 $\sum_{n=1}^\infty \sin\frac{1}{3n} \, t^n$。由于 $\sin\frac{1}{3n} \sim \frac{1}{3n}$，由比值判别法或根值判别法得收敛半径 $R=1$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$
提示：注意 $\sin\frac{1}{3n}$ 单调递减趋于0，但收敛半径仍为1。
步骤 8/9
目标：（3）判断端点收敛性
当 $t=1$ 时，级数为 $\sum \sin\frac{1}{3n}$，与 $\sum \frac{1}{3n}$ 比较发散；当 $t=-1$ 时，级数为 $\sum (-1)^n \sin\frac{1}{3n}$，由莱布尼茨判别法收敛。故 $t$ 的收敛域为 $[-1,1)$。
提示：注意 $t=1$ 时为正项级数，发散；$t=-1$ 时为交错级数，满足莱布尼茨条件。
步骤 9/9
目标：（3）解不等式得原级数收敛域
由 $-1 \le \frac{3+x}{3-2x} < 1$ 解出 $x$。注意分母 $3-2x \neq 0$。解不等式：$\frac{3+x}{3-2x} \ge -1$ 且 $\frac{3+x}{3-2x} < 1$。解得 $x < 0$ 或 $x \ge 6$。故收敛域为 $(-\infty, 0) \cup [6, +\infty)$。
提示：注意 $t=1$ 对应 $x$ 的边界不包含，$t=-1$ 对应 $x$ 的边界包含。
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