中册 6.4 幂级数 第4题
📝 题目
4．求解下列问题．
（1）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $a_{1} \neq 0$ ，公比为 $q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
💡 答案解析
解题过程：
（1）由已知得 $a_{n}=a_{1} q^{n-1}$ ，于是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{1} q^{n-1} x^{n}$ ．因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\frac{1}{q}$ ，故幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R=\frac{1}{q}$ ．
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1} q^{n-1}}{2^{n}}=2+\frac{1}{2} a_{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{n-1}}{2^{n-1}}=2+\frac{1}{2} a_{1} \frac{1}{1-\frac{1}{2} q}=2+\frac{a_{1}}{2-q}
$$
（2）分析：利用在 $x=-2$ 处条件收玫，进而得当 $x=4$ 时级数发散。具体求解如下：
因为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=-2$ 处条件收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ 收玫，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ 发散。进而当 $x=4$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 发散，故其收敛半径为 $\displaystyle \frac{4+2}{2}=3$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定等比数列通项公式
由已知，数列 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1 \neq 0$，公比 $q \in (0,2)$ 的等比数列，因此通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$。
公式：a_n = a_1 q^{n-1}
提示：注意公比 q 的范围是 (0,2)，后续计算中需考虑收敛性。
步骤 2/8
目标：求幂级数的收敛半径
幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} x^n$。计算系数比值的极限：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_1 q^{n-1}}{a_1 q^n} \right| = \frac{1}{q}$。因此收敛半径 $R = \frac{1}{q}$。
公式：R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
提示：注意收敛半径公式中系数是 a_n，不要与 x^n 的系数混淆。
步骤 3/8
目标：拆分级数求和
要求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + a_n}{2^n}$，将其拆分为两个级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}$。
提示：拆分后每个级数需单独求和，注意收敛性。
步骤 4/8
目标：计算第一个级数的和
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$。利用已知公式 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，令 $x = \frac{1}{2}$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{(1-1/2)^2} = 4$，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, |x|<1
提示：注意指数调整：$\frac{n}{2^n} = n \cdot (1/2)^n = (1/2) \cdot n \cdot (1/2)^{n-1}$。
步骤 5/8
目标：计算第二个级数的和
计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_1 q^{n-1}}{2^n} = \frac{a_1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{q}{2}\right)^{n-1} = \frac{a_1}{2} \cdot \frac{1}{1 - q/2} = \frac{a_1}{2 - q}$，其中用到等比级数求和公式，条件 $|q/2|<1$ 即 $q<2$，由已知成立。
公式：\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}, |r|<1
提示：注意首项对应 n=1 时指数为0，因此求和从 n=0 开始。
步骤 6/8
目标：合并结果
将两个部分相加：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + a_n}{2^n} = 2 + \frac{a_1}{2 - q}$。
提示：最终结果需化简，注意 a_1 和 q 为已知常数。
步骤 7/8
目标：分析条件收敛确定收敛半径
对于第二问，幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n$。在 $x=-2$ 处条件收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \left(\frac{-3}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \left(\frac{3}{2}\right)^n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \left(\frac{3}{2}\right)^n$ 发散。因此 $x=4$ 时，$\frac{x-1}{2} = \frac{3}{2}$，级数发散。收敛半径 $R = \frac{4 - (-2)}{2} = 3$。
公式：条件收敛：级数收敛但绝对值级数发散
提示：注意条件收敛点位于收敛区间端点，且另一端点发散。
步骤 8/8
目标：总结收敛半径
因此，幂级数的收敛半径为 $R=3$。
提示：收敛半径公式：$R = \frac{\text{端点差}}{2}$。
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