中册 6.4 幂级数 第5题
📝 题目
5．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$a=2$ ；海南师大 2012；$a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
先求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ 的和函数．
由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，所以级数的收玫半径 $R=1$ ．
当 $t= \pm 1$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|( \pm 1)^{n-1} n\right|=\infty \nrightarrow 0$ ，所以级数 $\sum n t^{n-1}$ 在 $t= \pm 1$ 时发散．于是级数的收玫区域为 $(-1,1)$ ．
记 $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\frac{x}{1-x},|x|<1$ ，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},|x|<1$ 。进而
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{x}{(1-x)^{2}},(|x|<1) .
$$
（1）令 $t=x-a$ ．因 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1}=\frac{1}{(1-t)^{2}}$ ，故幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1}$ 的收敛域为 $(a-1, a+1)$ ，和函数为 $\displaystyle \frac{1}{(1-x+a)^{2}}$ ．
（2）令 $t=x-a$ ．因 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n t^{n}=\frac{t}{(1-t)^{2}}$ ，故幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}=\frac{x-a}{(1+a-x)^{2}},-1+a
📋 详细解题步骤
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