中册 6.4 幂级数 第6题

\section*{解题过程：} （1）因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+2}{n}=1$ ，且当 $x= \pm 1$ 时级数发散，故幂级数的收玫域为 $(-1,1)$ ． 设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}, \forall x \in(-1,1)$ ，于是 $$ \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} n(n+1) t^{n} \mathrm{~d} t=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n+1}=x^{2} \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} $$ 令 $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ，则 $$ \int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty} n t^{n-1}\right) \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{0}^{x} t^{n-1} \mathrm{~d} t=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}-1=\frac{1}{1-x}-1 $$ 所以 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}, \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} g(x)=\frac{x^{2}}{(1-x)^{2}}$ 。进而 $$ \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}=f(x)=\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime}=\frac{2 x}{(1-x)^{3}},|x|<1 $$ （2）$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+2 n+1\right) x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n(n+1) x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) x^{n}$ $$ =\frac{2 x}{(1-x)^{3}}+\frac{1}{(1-x)^{2}}=\frac{1+x}{(1-x)^{3}},|x|<1 $$ （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}=x \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}$ ； $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}=-\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(-x)^{n}=\frac{x(1-x)}{(1+x)^{3}},|x|<1 $$ （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}+\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{2 x}{(1-x)^{3}}+\frac{x}{(1-x)^{2}}=\frac{3 x-x^{2}}{(1-x)^{3}},|x|<1$ ． （5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n^{2}(3 x)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}(3 x)^{n}=\frac{3 x(1+3 x)}{(1-3 x)^{3}}+\frac{1}{1-3 x},|x|<\frac{1}{3}$ ． （6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n(n+1) t^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\frac{2 t}{(1-t)^{3}}++\frac{1}{1-t}=\frac{1+t^{2}}{(1-t)^{3}}$ ． 令 $t=-x$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right)(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}=\frac{1+t^{2}}{(1-t)^{3}}$ ．于是 $$ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}=\frac{1+x^{2}}{(1-x)^{3}},|x|<1 . $$ （7）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}=\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}$ 得 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}}=\frac{(1+a)(2+a)}{a^{3}} \\ & \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}}=-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} n^{2}\left(-2^{-1}\right)^{n}=\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} \frac{\left(1-2^{-1}\right)}{\left(1+2^{-1}\right)^{3}}=\frac{4}{27} \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \frac{1}{3^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2 \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \frac{1}{3^{n}}+2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n}}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2} \end{aligned} $$ 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}=\frac{2 x}{(1-x)^{3}}$ 得 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(-\frac{1}{2^{2}}\right)^{n}=-\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^{3} ; \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) \frac{1}{2^{n}}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=9 ; \\ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}= & \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{4}{27}+\frac{2}{3}=\frac{22}{27} . \end{aligned} $$