中册 6.4 幂级数 第7题
📝 题目
7．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $a=3$ ），徐州师 大2009（ $a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\displaystyle \rho=\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(n+1)}\left(\frac{1}{n}\right)^{-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{(n+1)}=1$ ，故收敛半径 $R=1$ ，收敛区间为 $(-1,1)$ ．当 $x=1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的；当 $x=-1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ 是收玫的．故级数的收敛域为 $[-1,1)$ ．
设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}, x \in[-1,1)$ ，则
积分得
$$
f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} x^{n}\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}=\frac{1}{1-x}
$$
$$
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} \mathrm{~d} t=-\ln (1-x)
$$
于是
$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}=-\ln (1-x), x \in[-1,1) \\
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{n}=\ln (1+x), x \in(-1,1]
\end{aligned}
$$
（2）令 $\displaystyle t=\frac{x-a}{3}$ ．由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n}=-\ln (1-t)$ 得
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}=-\ln \left(1-\frac{x-a}{3}\right)
$$
因级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n}}{n}$ 的收玫域为 $[-1,1)$ ，故 $\displaystyle -1 \leqslant \frac{x-a}{3}<1$ ，即 $a-3 \leqslant x
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定收敛域
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$，计算收敛半径 $R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1$。当 $x=1$ 时，级数为调和级数，发散；当 $x=-1$ 时，级数为交错调和级数，收敛。故收敛域为 $[-1,1)$。
公式：$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
提示：注意端点处的敛散性判断，$x=1$ 时发散，$x=-1$ 时收敛。
步骤 2/5
目标：求导转化为几何级数
设 $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$，在收敛域内逐项求导得 $f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$。
公式：$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^n}{n} \right) = x^{n-1}$
提示：逐项求导在收敛区间内成立，注意端点处需单独验证。
步骤 3/5
目标：积分求和函数
对 $f'(x)$ 从 $0$ 到 $x$ 积分，得 $f(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x)$，其中 $x \in [-1,1)$。
公式：$\int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x)$
提示：积分下限取 $0$ 是因为 $f(0)=0$，注意定义域。
步骤 4/5
目标：处理变号级数
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$，令 $t = -x$，则化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$，代入得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} = \ln(1+x)$，收敛域为 $(-1,1]$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} = -\ln(1-t)$
提示：注意符号变化，$(-1)^{n-1} = -(-1)^n$，代入时小心。
步骤 5/5
目标：总结结果
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n} = -\ln(1-x)$，$x \in [-1,1)$；$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n} = \ln(1+x)$，$x \in (-1,1]$。
提示：注意两个级数的收敛域不同，一个左闭右开，一个左开右闭。
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