中册 6.4 幂级数 第8题
📝 题目
8．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n(n+1)}}=1$ ，所以级数的收玫半径 $R=1$ ．
当 $x= \pm 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+1)}$ 都收玫．故两个幂级数的收玫域是 $[-1,1]$ ．
设 $\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，则
$$
g(1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1, g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}, x \in[-1,1) .
$$
由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}=-\ln (1-x), x \in[-1,1)$ 得当 $x \in[-1,1)$ 时，
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}=-x \ln (1-x) ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}-x=-\ln (1-x)-x
$$
于是当 $x \in[-1,1)$ 时，$\displaystyle g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}=-x \ln (1-x)+\ln (1-x)+x$ 。故
$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=\left\{\begin{array}{l}
(1-x) \ln (1-x)+x,-1 \leqslant x<1, \\
1, x=1 ;
\end{array}\right. \\
& \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}=\left\{\begin{array}{l}
(1+x) \ln (1+x)-x,-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求收敛域
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，利用根值判别法求收敛半径：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n(n+1)}} = 1$，所以收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n(n+1)}$ 均收敛（因为 $\frac{1}{n(n+1)}$ 与 $\frac{1}{n^2}$ 同阶）。故收敛域为 $[-1,1]$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$，收敛半径 $R=1/\rho$
提示：注意端点处的收敛性判断，需单独讨论。
步骤 2/7
目标：分解幂级数
设 $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，利用部分分式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，将级数分解为两个级数的差：$g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$。注意此分解在 $x \in [-1,1)$ 时成立，因为 $x=1$ 时第二个级数发散。
公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：注意分解后级数的收敛域可能发生变化，需单独处理端点。
步骤 3/7
目标：利用已知和函数
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$，$x \in [-1,1)$。则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n} = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x \ln(1-x)$。对于第二个级数，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n} = \left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\right) - x = -\ln(1-x) - x$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$
提示：注意下标变换，避免遗漏项。
步骤 4/7
目标：得到和函数表达式
代入得 $g(x) = (-x \ln(1-x)) - (-\ln(1-x) - x) = (1-x)\ln(1-x) + x$，$x \in [-1,1)$。当 $x=1$ 时，直接计算 $g(1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \lim_{N \to \infty} \left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1$。因此和函数为分段形式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)} = \begin{cases} (1-x)\ln(1-x)+x, & -1 \leq x < 1 \\ 1, & x=1 \end{cases}$。
提示：端点 $x=1$ 需单独计算，不能直接代入表达式。
步骤 5/7
目标：处理带 $(-1)^{n+1}$ 的级数
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，令 $t=-x$，则级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n(n+1)}$，其和函数为 $(1-t)\ln(1-t)+t$，$t \in [-1,1)$。代回 $t=-x$ 得 $(1+x)\ln(1+x)-x$，$x \in (-1,1]$。当 $x=-1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$。因此和函数为 $\begin{cases} (1+x)\ln(1+x)-x, & -1 < x \leq 1 \\ 1, & x=-1 \end{cases}$。
提示：注意变量代换后收敛域的变化。
步骤 6/7
目标：求解第二问
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n(n+1)3^{n+1}}$，令 $t = -\frac{x}{3}$，则级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n+1}}{n(n+1)}$。由第一问，其和函数为 $(1-t)\ln(1-t)+t$，$t \in [-1,1)$。代回得 $\left(1+\frac{x}{3}\right)\ln\left(1+\frac{x}{3}\right) - \frac{x}{3}$，$x \in (-3,3]$。当 $x=-3$ 时，$t=1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$，但原级数有负号：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(-3)^{n+1}}{n(n+1)3^{n+1}} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = -1$。因此和函数为 $\begin{cases} \left(1+\frac{x}{3}\right)\ln\left(1+\frac{x}{3}\right) - \frac{x}{3}, & -3 < x \leq 3 \\ -1, & x=-3 \end{cases}$。
提示：注意 $t=1$ 对应 $x=-3$，需单独处理。
步骤 7/7
目标：求解第三问
求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$。考虑幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n(n+1)} x^n$，其收敛域为 $[-1,1)$。利用部分分式 $\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}$，则级数化为 $2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1} = -2\ln(1-x) - \frac{1}{x}\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^n}{n}\right) = -2\ln(1-x) - \frac{1}{x}(-\ln(1-x)-x) = \frac{1-2x}{x}\ln(1-x)+1$。令 $x=-1$，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (n+2)}{n(n+1)} = \frac{1+2}{-1}\ln 2 + 1 = -3\ln 2 + 1$，所以原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)} = 3\ln 2 - 1$。
公式：$\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：注意符号：$(-1)^{n+1}$ 与 $(-1)^n$ 相差一个负号。
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