中册 6.4 幂级数 第9题
📝 题目
9．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle u_{n}(x)=(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=|x|$ 。当 $|x|>1$ 时，原级数发散。当 $|x| \leqslant 1$ 时有
$\displaystyle \left|u_{n}(x)\right| \leqslant \frac{1}{n^{2}-1}$ ，所以 $\sum_{n=2}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上一致收玫，原级数的收玫域为 $[-1,1]$ ．
设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，则
故
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n-1}=x \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n-1}}{n-1}=x \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}=x \ln (1+x) . \\
& f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}==\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right) \ln (1+x)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} x^{2}-x\right) .
\end{aligned}
$$
由此得
$$
\begin{aligned}
& \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right)}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{3}{8}-\frac{3}{4} \ln \frac{3}{2} \\
& \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}=-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right)}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{5}{8}-\frac{3}{4} \ln 2
\end{aligned}
$$
（2）当 $x=0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}=0$ ．
当 $x \in(-1,0) \cup(0,1)$ 时，由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}=-x \ln (1-x), \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+2}=-\frac{1}{x} \ln (1-x)-1-\frac{x}{2}$ ，故
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+2}=-\frac{1}{2} x \ln (1-x)+\frac{1}{2 x} \ln (1-x)+\frac{1}{2}+\frac{x}{4} .
$$
（3）由（2）得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+2)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+2)}=-\frac{1}{4}$ ．
（4）因
$$
\begin{aligned}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}+n-2} & =\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n+2)(n-1)}=\frac{1}{3}\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1)}-\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n+2)}\right) \\
& =\frac{1}{3}(-x \ln (1-x))-\frac{1}{3 x^{2}}\left(-\left(\ln (1-x)-x-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right)
\end{aligned}
$$
故
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}=-\frac{1}{3} \ln 2-\frac{1}{3}\left(-\ln 2+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3} \ln 2-\frac{5}{18}
$$
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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