中册 6.4 幂级数 第10题

\section*{解题过程：} （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ 是同一级数．记 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=\left|x^{2}\right|$ 。当 $|x|<1$ 时，原级数绝对收敛。当 $x= \pm 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n+1}}{2 n+1}$ 都发散，所以幂级数的收玫域为 $(-1,1)$ ． 设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1},|x|<1$ ．逐项求导得 $$ f^{\prime}(x)=1+x^{2}+x^{4}+\cdots+x^{2 n}+\cdots=\frac{1}{1-x^{2}} $$ 所以 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}=\int_{0}^{x} \frac{1}{1-t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x},|x|<1 $$ （2）先求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的和。设 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=x^{2}$ ．于是当 $|x|<1$ 时，原级数绝对收敛，当 $x= \pm 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2 n+1}}{2 n+1}$ 都发散，所以幂级数的收玫域为 $(-1,1)$ ． 设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ，则 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-x^{2}\right)^{n}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ，从而 $$ \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\arctan x $$ 令 $t=\sqrt{2} x$ ，则 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(\sqrt{2} x)^{2 n+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2 n+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan t=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \sqrt{2} x . \\ & \text { (3) } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n+1}=\sqrt{3} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2 n+1}=\sqrt{3}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^{2 n-1} \end{aligned} $$ $$ =\frac{x^{2}}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} . $$ （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{(2 n-1)}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n}=2 x \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-x^{2}\right)^{n}}{n},|x|<1$ ． 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)}=\arctan x, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-x^{2}\right)^{n}}{n}=-\ln \left(1+x^{2}\right)$ 得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}=2 x \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) $$ （5）当 $x=0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}=0$ ； 当 $x \neq 0$ 时，由于 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\arctan x$ ，所以 $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n+1}=\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\frac{1}{x} \arctan x-1 $$ 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{2 n}=\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}}-1$ 得 $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)} & =2 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{n+1} \\ & =\frac{2}{x} \arctan x-\frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{2}}-1, x \in[-1,0) \cup(0,1] \end{aligned} $$ （6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\frac{x}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x^{2}\right)^{n}}{n}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1},|x|<1$ ． 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x^{2}\right)^{n}}{n}=-\ln \left(1-x^{2}\right), \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}-x$ 得 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}=\frac{1}{2}(1-x) \ln (1-x)-\frac{1}{2}(1+x) \ln (1+x)+x . \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n(2 n+1)}=\lim _{x \rightarrow 1} S(x)=2(1-\ln 2) . \end{aligned} $$ （7）令 $\displaystyle t=\frac{x}{3 x+1}$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2 n-1)} t^{2 n},|t|<1$ ．由（4）知 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2 n-1)} t^{2 n}=2 t \arctan t-\ln \left(1+t^{2}\right) $$ 于是 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}=-2 \frac{x}{3 x+1} \arctan \frac{x}{3 x+1}-\ln \left[1+\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2}\right] . $$ （8）令 $t=x-a$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1}$ ． 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n+1}}{(2 n+1)(2 n-1)}=\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n+1}}{2 n-1}-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{t^{2 n+1}}{2 n+1}$ 得 $$ \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1}=\frac{1}{2}\left[\left(1+(x-a)^{2}\right) \arctan (x-a)-(x-a)\right] . \\ & \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1}=\frac{1}{2}\left[\left(1+x^{2}\right) \arctan x-x\right] \end{aligned} $$ （9）由 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=\arctan x$ 得 （1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}=\arctan \frac{1}{3}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}=-\frac{\pi}{4}$ ； （3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]=-1+\frac{\pi}{4}+1=\frac{\pi}{4}$ ； （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}=\sqrt{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2 n-1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln (\sqrt{2}+1)$ ．