中册 6.4 幂级数 第11题
📝 题目
11．求级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{3 n+1}}{3 n+1}$ 的收敛域为 $(-1,1]$ ．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{3 n+1}}{3 n+1}, x \in(-1,1]$ ，则
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n} x^{3 n+1}}{3 n+1}\right]^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{3 n}=\frac{1}{1+x^{3}}, x \in(-1,1) \\
f(x) & =\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{3} \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t-\frac{1}{3} \int_{0}^{x} \frac{t-2}{1-t+t^{2}} \mathrm{~d} t \\
& =\frac{1}{3} \ln (1+x)-\frac{1}{6} \ln \left(1-x+x^{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)
\end{aligned}
$$
因此 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{3} \ln 2+\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ ，从而 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}=\frac{1}{3} \ln 2+\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}=-\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\cdots=-\frac{1}{2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \ln 2-\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ ．
（3）设 $\displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{3 n+2}}{3 n+2}, x \in(-1,1]$ ，则
$$
\begin{aligned}
g^{\prime}(x) & =\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n} x^{3 n+2}}{3 n+2}\right]^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{3 n+1}=\frac{x}{1+x^{3}}, x \in(-1,1) \\
g(x) & =\int_{0}^{x} \frac{t}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t=-\frac{1}{3} \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t} \mathrm{~d} t+\frac{1}{3} \int_{0}^{x} \frac{t+1}{1-t+t^{2}} \mathrm{~d} t \\
& =-\frac{1}{3} \ln (1+x)+\frac{1}{6} \ln \left(1-x+x^{2}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)
\end{aligned}
$$
因此 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}=g(1)==-\frac{1}{3} \ln 2+\frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造幂级数并求导
考虑幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{3 n+1}}{3 n+1}$，收敛域为 $(-1,1]$。在 $(-1,1)$ 内逐项求导得 $f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{3 n}=\frac{1}{1+x^{3}}$。
公式：$\frac{1}{1+x^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{3 n}$
提示：注意幂级数在端点 $x=1$ 处收敛，但求导后级数在 $x=1$ 处发散，因此求导仅在 $(-1,1)$ 内成立。
步骤 2/6
目标：积分求 f(x) 表达式
对 $f'(x)$ 从 0 到 $x$ 积分：$f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$。利用部分分式分解：$\frac{1}{1+t^{3}}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{2-t}{1-t+t^{2}}\right)$，但更常用的分解为 $\frac{1}{1+t^{3}}=\frac{1}{3}\frac{1}{1+t}-\frac{1}{3}\frac{t-2}{1-t+t^{2}}$。积分得 $f(x)=\frac{1}{3}\ln(1+x)-\frac{1}{6}\ln(1-x+x^{2})+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)$。
公式：$\int \frac{1}{1+t^{3}} dt = \frac{1}{3}\ln(1+t) - \frac{1}{6}\ln(1-t+t^{2}) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2t-1}{\sqrt{3}} + C$
提示：注意积分常数由 $f(0)=0$ 确定，代入 $x=0$ 得 $\arctan(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6$，因此常数项为 $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6}$。
步骤 3/6
目标：代入 x=1 求第一问和
由于幂级数在 $x=1$ 处收敛，由阿贝尔定理知和函数连续，故 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}=f(1)=\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{6}\ln(1-1+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。
提示：注意 $\ln(1-x+x^{2})$ 在 $x=1$ 时为 $\ln 1=0$，$\arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6$。
步骤 4/6
目标：利用第一问结果求第二问
第二问：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$。注意 $n=0$ 时项为 $\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$，$n=1$ 时项为 $\frac{-1}{1}=-1$，$n\ge 2$ 时令 $m=n-1$ 则 $3n-2=3(m+1)-2=3m+1$，且 $(-1)^{n}=(-1)^{m+1}=-(-1)^{m}$，故 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}=-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{3 m+1}$。而 $\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{3 m+1}=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$，所以 $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{3 m+1}=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}-1$。因此原式 $=-\frac{1}{2}-1-\left(\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}-1\right)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\ln 2-\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。
提示：注意 $n=0,1$ 项单独处理，避免分母为零或符号错误。
步骤 5/6
目标：构造幂级数求第三问
设 $g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{3 n+2}}{3 n+2}$，收敛域 $(-1,1]$。求导得 $g'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{3 n+1}=\frac{x}{1+x^{3}}$。积分得 $g(x)=\int_{0}^{x} \frac{t}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$。分解 $\frac{t}{1+t^{3}}=\frac{1}{3}\left(\frac{t+1}{1-t+t^{2}}-\frac{1}{1+t}\right)$，积分得 $g(x)=-\frac{1}{3}\ln(1+x)+\frac{1}{6}\ln(1-x+x^{2})+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)$。
公式：$\int \frac{t}{1+t^{3}} dt = -\frac{1}{3}\ln(1+t) + \frac{1}{6}\ln(1-t+t^{2}) + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2t-1}{\sqrt{3}} + C$
提示：注意积分常数由 $g(0)=0$ 确定，与第一问类似。
步骤 6/6
目标：代入 x=1 求第三问和
代入 $x=1$：$g(1)=-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{6}\ln 1+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}=-\frac{1}{3}\ln 2+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$。
提示：注意 $\arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6$，与第一问相同。
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