中册 6.4 幂级数 第12题
📝 题目
12．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
💡 答案解析
解题分析：利用级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}=\mathrm{e}^{x}$ ，通过逐项积分或逐项求导求和．
\section*{解题过程：}
（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 的收敛半径 $R=+\infty$ ．设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ ，则
$$
\int_{0}^{x} S(t) \mathrm{d} t=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!}=x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)
$$
于是
$$
S(x)=\left[x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)\right]^{\prime}=\mathrm{e}^{x}(1+x)-1, x \in(-\infty,+\infty)
$$
故
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}+x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=\mathrm{e}^{x}(1+x)
$$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}=\left(x^{2}+x^{3}+\frac{1}{2!} x^{4}+\cdots\right)=x^{2}\left(1+x+\frac{1}{2!} x^{2}+\cdots\right)=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{2 n}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} x^{2 n}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n}=\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{x^{2}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}=2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{2 n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n}=2 x^{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} x^{2 n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{2 n}=\left(2 x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}=x+2 x^{2}+\frac{3}{2!} x^{3}+\frac{4}{3!} x^{4}+\cdots=x\left(1+2 x+\frac{3}{2!} x^{2}+\frac{4}{3!} x^{3}+\cdots\right)$ ．
记 $\displaystyle g(x)=1+2 x+\frac{3}{2!} x^{2}+\frac{4}{3!} x^{3}+\cdots$ ，则
$$
\int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t=x+x^{2}+\frac{1}{2!} x^{3}+\frac{1}{3!} x^{4}+\cdots=x \mathrm{e}^{x}
$$
于是 $g(x)=\mathrm{e}^{x}(1+x)$ ．从而
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}=x+2 x^{2}+\frac{3}{2!} x^{3}+\frac{4}{3!} x^{4}+\cdots=x\left(1+2 x+\frac{3}{2!} x^{2}+\frac{4}{3!} x^{3}+\cdots\right)=x(1+x) \mathrm{e}^{x}
$$
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} \frac{x^{n}}{2^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{x^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$ ．
令 $\displaystyle t=\frac{x}{2}$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} t^{n}$ ．由（5）得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} t^{n}=t(1+t) \mathrm{e}^{t}$ ．于是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\frac{x}{2}\left(1+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$ ．
因此 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} \frac{x^{n}}{2^{n}}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \frac{x^{n}}{2^{n}}=\frac{x}{2}\left(1+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$ ，收玫域为 $(-\infty,+\infty)$ ．
（7）记 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!} x+\frac{3}{4!} x^{2}+\cdots$ ，则当 $x=0$ 时，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2!}$ 。当 $x \neq 0$ 时，积分得
$$
\begin{aligned}
& \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2!} x+\frac{1}{3!} x^{2}+\frac{1}{4!} x^{3}+\cdots \\
& x \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2!} x^{2}+\frac{1}{3!} x^{3}+\frac{1}{4!} x^{4}+\cdots=\mathrm{e}^{x}-x-1
\end{aligned}
$$
于是
$$
\int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-1
$$
求导得
$$
f(x)=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!} x+\frac{3}{4!} x^{2}+\cdots=\left[\frac{1}{x}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-1\right]^{\prime}=\frac{1}{x} \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{x^{2}}\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)=\frac{1}{x^{2}}\left(x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1\right) .
$$
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\left(\frac{x}{2}+1\right) \mathrm{e}^{\frac{x}{2}}$ ．
（9）由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{1}{2!} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!} x^{n}+\cdots, x \in(-\infty,+\infty)$ ，得
$$
\mathrm{e}^{x}=\left[1+\frac{1}{2!} x^{2}+\frac{1}{4!} x^{4}+\cdots+\frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}+\cdots\right]+\left[x+\frac{1}{3!} x^{3}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)!} x^{2 n-1}+\cdots\right], x \in(-\infty,+\infty) .
$$
记 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}, g(x)=x+\frac{1}{3!} x^{3}+\cdots+\frac{1}{(2 n-1)!} x^{2 n-1}+\cdots$ ，则
$$
g^{\prime}(x)=1+\frac{1}{2!} x^{2}+\cdots+\frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}+\cdots=f(x) \text {, 且 } g^{\prime}(x)+g(x)=\mathrm{e}^{x} \text {, }
$$
解之得 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}+c \mathrm{e}^{-x}$ ．
令 $x=0$ ，由 $\displaystyle g(0)=\frac{1}{2}+c=0$ 得 $\displaystyle c=-\frac{1}{2}$ ．于是 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-x}$ ．故
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}=x f(x)=x g^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)
$$
（10）记 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}=3 x^{2}-\frac{5}{3!} x^{4}+\frac{7}{5!} x^{6}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}+\cdots$ ，积分得
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t & =x^{3}-\frac{1}{3!} x^{5}+\frac{1}{5!} x^{7}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1)!} x^{2 n+1}+\cdots \\
& =x^{2}\left[x-\frac{1}{3!} x^{3}+\frac{1}{5!} x^{5}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1)!} x^{2 n-1}+\cdots\right]=x^{2} \sin x
\end{aligned}
$$
于是
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}=\left(x^{2} \sin x\right)^{\prime}=2 x \sin x+x^{2} \cos x
$$
（11）求下列级数的和．
（1）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 得
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} \frac{1}{4^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n} n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!4^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n} n!}=4 \frac{1}{4^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}-\mathrm{e}^{\frac{1}{4}}=-\frac{3}{4} \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}
$$
（2）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}=(1+x) \mathrm{e}^{x}-1$ 得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} 2^{n}=(1+2) \mathrm{e}^{2}-1=3 \mathrm{e}^{2}-1$ ．
（3）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}=(1+x) \mathrm{e}^{x}-1$ 得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!}(-3)^{n}=(1-3) \mathrm{e}^{-3}-1=-2 \mathrm{e}^{-3}-1$ ．
（4）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 得
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=4 \frac{1}{2^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}+\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}-1=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}-1
$$
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1-1}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}=1$ ．
（6）由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}=x(1+x) \mathrm{e}^{x}$ 得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}=2 \mathrm{e}$ ．
（7）$\displaystyle \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\frac{n+2}{n![1+(n+1)+(n+1)(n+2)]}=\frac{n+2}{n!\left(n^{2}+4 n+4\right)}=\frac{1}{n!(n+2)}$
$$
=\frac{n+1}{(n+2)!}=\frac{(n+2)-1}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!} .
$$
所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)!}=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!}-\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k!}=\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k!}-\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k!}=\frac{1}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定收敛半径并设和函数
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$，由于 $\frac{1}{n!}$ 衰减极快，收敛半径 $R = +\infty$。设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$。
提示：注意 $n$ 从1开始，与 $e^x$ 的展开式 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 对比。
步骤 2/5
目标：积分消去系数中的 $n+1$
对 $S(x)$ 从0到 $x$ 积分：$\int_0^x S(t) dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = x(e^x - 1)$。
公式：$\int_0^x t^n dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$
提示：积分时注意 $n$ 从1开始，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$。
步骤 3/5
目标：求导得到和函数
对积分结果求导：$S(x) = \frac{d}{dx}[x(e^x - 1)] = e^x - 1 + x e^x = e^x(1+x) - 1$。
公式：$\frac{d}{dx}(x e^x) = e^x + x e^x$
提示：求导时注意乘积法则。
步骤 4/5
目标：处理 $n$ 从0开始的情况
若级数从 $n=0$ 开始：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n = \frac{0+1}{0!} x^0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n = 1 + S(x) = 1 + e^x(1+x) - 1 = e^x(1+x)$。
提示：注意 $n=0$ 项单独计算，$0! = 1$。
步骤 5/5
目标：验证结果
最终和函数为 $S(x) = e^x(1+x)$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^n = e^x(1+x)$
提示：可代入 $x=0$ 验证：左边 $=1$，右边 $=1$。
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