中册 6.4 幂级数 第15题
📝 题目
15．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}=\frac{1}{3(x-1)+5}=\frac{1}{5} \frac{1}{1+\frac{3(x-1)}{5}}=\frac{1}{5} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{3}{5}\right)^{n}(x-1)^{n},|x-1|<\frac{5}{3}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+1-4}{1+x}=1-\frac{4}{1+x}=1-\frac{4}{2+(x-1)}=1-\frac{2}{1+\frac{x-1}{2}}=1-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}(x-1)^{n}, x \in(0,2)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+(x-1)}-\frac{1}{2} \frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}(x-1)^{n}$
$$
=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)(x-1)^{n}, x \in(0,2) .
$$
（4）由于
$$
\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}},\left(-1<\frac{x-1}{2}<1\right), \frac{1}{1+\frac{x-1}{4}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-1)^{n}}{4^{n}},\left(-1<\frac{x-1}{4}<1\right)
$$
所以
$$
\begin{aligned}
f(x) & =\frac{1}{2(1+x)}-\frac{1}{2(3+x)}=\frac{1}{4\left(1+\frac{x-1}{2}\right)}-\frac{1}{8\left(1+\frac{x-1}{4}\right)}=\frac{1}{4} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}-\frac{1}{8} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(x-1)^{n}}{4^{n}} \\
& =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{2^{n+2}}-\frac{1}{2^{2 n+3}}\right)(x-1)^{n},(-1
📋 详细解题步骤
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